Osservazione sulla condizione di integrabilità.
Buongiorno,
la seguente osservazione che vi riporto ne deriva dal precedente teorema sulla condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia integrabile, per essere preciso vi riporto sia l'enunciato del teorema e l'osservazione.
Teorema
Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione \(\displaystyle f(x) \), definita in un intervallo [a,b) e limitata, sia integrabile in [a,b), è che per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \) esistano una funzione semplice maggiorante \(\displaystyle \alpha \) e una funzione minorante \(\displaystyle \beta \):\(\displaystyle \int_{a}^{b} \alpha(x)\, dx -\int_{a}^{b} \beta(x)\, dx <\epsilon \)
Fine dell'enunciato.
Osservazione: dal teorema precedente, prendendo $\epsilon= 1, \frac{1}{2},...,\frac{1}{n}$ si ottiene:
Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione \(\displaystyle f(x) \), definita in un intervallo [a,b) e limitata, sia integrabile in [a,b), è che esistono, una successione $\alpha(x)_h$ di funzioni maggioranti e una $\beta(x)_h$ di funzioni minoranti, tali che $lim_{h to infty}( \int_{a}^{b} \alpha(x)\, dx -\int_{a}^{b} \beta(x)\, dx)=0$
A mio avviso sembrano uguali i due enunciati, quindi la differenza dove stà tra i due?
Cioè dovrei suppore che in base alla scelta del valore \(\displaystyle \epsilon \) ho delle funzioni maggioaranti e minoranti tali che la loro differenza è pari a zero.
Ciao
la seguente osservazione che vi riporto ne deriva dal precedente teorema sulla condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione sia integrabile, per essere preciso vi riporto sia l'enunciato del teorema e l'osservazione.
Teorema
Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione \(\displaystyle f(x) \), definita in un intervallo [a,b) e limitata, sia integrabile in [a,b), è che per ogni \(\displaystyle \epsilon>0 \) esistano una funzione semplice maggiorante \(\displaystyle \alpha \) e una funzione minorante \(\displaystyle \beta \):\(\displaystyle \int_{a}^{b} \alpha(x)\, dx -\int_{a}^{b} \beta(x)\, dx <\epsilon \)
Fine dell'enunciato.
Osservazione: dal teorema precedente, prendendo $\epsilon= 1, \frac{1}{2},...,\frac{1}{n}$ si ottiene:
Condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione \(\displaystyle f(x) \), definita in un intervallo [a,b) e limitata, sia integrabile in [a,b), è che esistono, una successione $\alpha(x)_h$ di funzioni maggioranti e una $\beta(x)_h$ di funzioni minoranti, tali che $lim_{h to infty}( \int_{a}^{b} \alpha(x)\, dx -\int_{a}^{b} \beta(x)\, dx)=0$
A mio avviso sembrano uguali i due enunciati, quindi la differenza dove stà tra i due?
Cioè dovrei suppore che in base alla scelta del valore \(\displaystyle \epsilon \) ho delle funzioni maggioaranti e minoranti tali che la loro differenza è pari a zero.
Ciao
Risposte
Per funzione semplice intendi funzione a gradino?
Si, funzioni costanti a tratti.
Cerchiamo di capirci fino alla fine. Quello che vuoi dimostrare è il seguente fatto?
Dato un intervallo $I=[a,b)$
$forall epsilon>0 exists alpha,beta:I->RR$ a gradino su $I$ tali che
$• |int_(a)^(b)alpha(x)dx-int_(a)^(b)beta(x)dx|
Se e solo se
$existsalpha,beta:ItimesNN->RR$ successioni di funzioni a gradino su $I$ tali che
$• lim_(h->+infty)(int_(a)^(b)alpha_h(x)dx-int_(a)^(b)beta_h(x)dx)=0$
Chiaramente poi che siano maggioranti o minoranti ci importa poco perché se vale questa a maggior ragione vale per quella, l’unica differenza sta nel valore assoluto all’inizio.
Se è questo possiamo andare avanti
Dato un intervallo $I=[a,b)$
$forall epsilon>0 exists alpha,beta:I->RR$ a gradino su $I$ tali che
$• |int_(a)^(b)alpha(x)dx-int_(a)^(b)beta(x)dx|
Se e solo se
$existsalpha,beta:ItimesNN->RR$ successioni di funzioni a gradino su $I$ tali che
$• lim_(h->+infty)(int_(a)^(b)alpha_h(x)dx-int_(a)^(b)beta_h(x)dx)=0$
Chiaramente poi che siano maggioranti o minoranti ci importa poco perché se vale questa a maggior ragione vale per quella, l’unica differenza sta nel valore assoluto all’inizio.
Se è questo possiamo andare avanti
Si posso dare la conferma 
Cioè in effetti fa vedere che la prima quantità che hai riportato tu, è vera se e soltato se è vera la seconda.
Quindi uno dei miei tanti dubbi è da dove escono le successioni ?
Dovrei suppore che lo fa proprio perchè vuole applicare il limite.
Ciao
Cioè in effetti fa vedere che la prima quantità che hai riportato tu, è vera se e soltato se è vera la seconda.
Quindi uno dei miei tanti dubbi è da dove escono le successioni ?
Dovrei suppore che lo fa proprio perchè vuole applicare il limite.
Ciao
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