Oscillatore armonico quantistico
Stavo leggendo delle dispense sulle equazioni differenziali ordinarie, pag. 138.
Si stanno cercando delle soluzioni dell'equazione
\[v^{(2)}(x) + (\epsilon - x^2) v(x) = 0\]
e viene suggerita la sostituzione \(v(x) = e^{-x^2/2} u(x)\) secondo la considerazione che per \(x\) molto grande si può 'trascurare' \(\epsilon\) e l'equazione diventa del tipo
\[x^{(2)}(t) = t^2 x(t)\]
Ciò che non capisco è da dove esce \(e^{-x^2/2}\), ho provato velocemente a risolvere quell'equazione e viene
\[x(t) = (\cosh t - 1) c_1 + \frac{\sinh t - t}{t} c_2\]
dove vedo un \(e^x\) ma non di certo un \(e^{\pm x^2/2}\). Dove sbaglio?
Edit. Dovrei aver sbagliato a risolvere l'equazione, l'ho trasformata in un sistema lineare e risolto come se la matrice fosse costante(sbam!). Ho visto che \(e^{-t^2/2}\) è soluzione di \(x^{(2)}(t) = (t^2 - 1) x(t)\), cioè soluzione dell'equazione iniziale nel caso \(\epsilon = 1\). Rimango lo stesso in attesa di illuminazioni se qualcuno ha voglia.
Si stanno cercando delle soluzioni dell'equazione
\[v^{(2)}(x) + (\epsilon - x^2) v(x) = 0\]
e viene suggerita la sostituzione \(v(x) = e^{-x^2/2} u(x)\) secondo la considerazione che per \(x\) molto grande si può 'trascurare' \(\epsilon\) e l'equazione diventa del tipo
\[x^{(2)}(t) = t^2 x(t)\]
Ciò che non capisco è da dove esce \(e^{-x^2/2}\), ho provato velocemente a risolvere quell'equazione e viene
\[x(t) = (\cosh t - 1) c_1 + \frac{\sinh t - t}{t} c_2\]
dove vedo un \(e^x\) ma non di certo un \(e^{\pm x^2/2}\). Dove sbaglio?
Edit. Dovrei aver sbagliato a risolvere l'equazione, l'ho trasformata in un sistema lineare e risolto come se la matrice fosse costante(sbam!). Ho visto che \(e^{-t^2/2}\) è soluzione di \(x^{(2)}(t) = (t^2 - 1) x(t)\), cioè soluzione dell'equazione iniziale nel caso \(\epsilon = 1\). Rimango lo stesso in attesa di illuminazioni se qualcuno ha voglia.
Risposte
Secondo me non è semplice. L'operatore \(-\frac{d^2}{dx^2}+x^2\) ha le autofunzioni \(e^{-\frac{x^2}{2}}H_n(x)\), dove \(H_n\) sono i polinomi di Hermite. Questo suggerisce che \(e^{-\frac{x^2}{2}}\) sia il giusto "peso" da usare, ma non vedo una maniera veloce di indovinare questo peso senza sapere nulla di polinomi di Hermite.
Ciao dissonance, grazie per la risposta.
Questo fatto che hai appena detto sembra interessante; come ci si arriva? È una proprietà notevole dei polinomi di Hermite o, ad esempio, vettori ortonormali rispetto un prodotto scalare con un certo peso (Legendre, Chebyshev) corrispondono a soluzioni di altre equazioni differenziali?
Questo fatto che hai appena detto sembra interessante; come ci si arriva? È una proprietà notevole dei polinomi di Hermite o, ad esempio, vettori ortonormali rispetto un prodotto scalare con un certo peso (Legendre, Chebyshev) corrispondono a soluzioni di altre equazioni differenziali?
Che io sappia, "tutti" i sistemi di polinomi ortogonali verificano una equazione differenziale. Ma non sono neanche minimamente un esperto.
[ot]Per esempio, vedi sull'Abramowitz & Stegun: http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/frameindex.htm
alla pagina 771 (usa il navigatore posto sulla sinistra). Tutti i polinomi ortogonali hanno vari paragrafi contenenti varie rappresentazioni: relazioni di ricorrenza, differenziali, funzioni generatrici e formule di Rodrigues. Chiaramente su quel libro non ti spiega la teoria che c'è dietro ma ti rifila solo le formule, serve da consultazione. Non mi sono mai messo seriamente a studiare questa teoria, ma se dovessi farlo probabilmente inizierei da questo libro (H.Hochstadt - The functions of mathematical physics).[/ot]
In ogni caso si potrebbe mandare una mail a Vitali e chiedergli se intendesse proprio questo o se lui ha in mente una maniera più veloce per indovinare il peso \(e^{-\frac{x^2}{2}}\). È interessante.
alla pagina 771 (usa il navigatore posto sulla sinistra). Tutti i polinomi ortogonali hanno vari paragrafi contenenti varie rappresentazioni: relazioni di ricorrenza, differenziali, funzioni generatrici e formule di Rodrigues. Chiaramente su quel libro non ti spiega la teoria che c'è dietro ma ti rifila solo le formule, serve da consultazione. Non mi sono mai messo seriamente a studiare questa teoria, ma se dovessi farlo probabilmente inizierei da questo libro (H.Hochstadt - The functions of mathematical physics).[/ot]
In ogni caso si potrebbe mandare una mail a Vitali e chiedergli se intendesse proprio questo o se lui ha in mente una maniera più veloce per indovinare il peso \(e^{-\frac{x^2}{2}}\). È interessante.
AAAAAAAhhhhhh no, ma guarda che cretino che sono. La nota a piè di pagina continua a pagina 139 e spiega come ha fatto a ricavare quell'ansatz. Ignora TUTTO quello che ho detto, che difatti è logicamente una conseguenza del ragionamento di Vitali e non la causa. (I polinomi di Hermite, tra l'altro, appaiono sulle dispense qualche pagina dopo).
Gotcha! Non l'avevo proprio vista 
Evidentemente quelle dispense sono pensate per essere distribuite STAMPATE agli studenti, old school
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