Ortogonale dell'ortogonale di un sottospazio di Hilbert

[Plepp]

Se $H$ è uno spazio di Hilbert, l'ortogonale di un suo elemento $x$ è
\[x^\perp:=\{y\in H:\langle x,y \rangle=0\}\]
mentre se $M\subseteq H$ si pone:
\[M^\perp:=\bigcap_{x\in M}x^\perp\]

Devo dimostrare che se $M$ è un sottospazio di $H$ (e non un sottoinsieme vattelappesca), allora
\[(M^\perp)^\perp=\overline{M}\]
L'inclusione $(\supseteq)$ è facile: si utilizza la continuità del prodotto scalare e vale anche per un generico sottoinsieme. Qualche hint per la $(\subseteq)$?

[dissonance]

Devi usare il teorema dei proiettori ortogonali, secondo me. Se la proiezione ortogonale di \(x\in M^\bot{}^\bot\) fa zero, allora $x\in \overline{M}$, ma questo funziona solo se $M$ è un sottospazio vettoriale.

No?

[Plepp]

Uhm, non ci ho proprio pensato dato che l'esercizio è stato assegnato prima di enunciare il Teorema dei proiettori ortogonali.

Però in effetti funziona, mi pare Dunque, se $M$ è un sottospazio tale è anche $\overline{M}$, che essendo pure chiuso ha diritto ai suoi proiettori ortogonali $P:H\to \overline{M}$ e $Q:H\to \overline{M}^{\bot}$. Abbiamo, osservato preliminarmente che $M^\bot\equiv \overline{M}^\bot$[nota]Ovvio che $\overline{M}^\bot\subseteq M^\bot$. Invece: se $y\in M^\bot$, $z\in \overline{M}$ e $(z_n)_n$ è una successione in $M$ tale che $z_n\to z$, si ha
\[\langle y,z\rangle=\lim_n\langle y,z_n\rangle=0\]
da cui l'altra inclusione.[/nota],
\[
\begin{align}
x\in (M^\perp)^\perp&\implies \forall y\in M^\perp,\ \langle x,y\rangle=0\\
&\implies \forall y\in M^\perp,\ \underbrace{\langle Px,y\rangle}_{=0}+\langle Qx,y\rangle=0\\
&\implies \forall y\in M^\perp,\ \langle Qx,y\rangle=0\\
&\implies Qx=0\\
&\implies x\in \overline{M}
\end{align}
\]
Che dici? Grazie per il suggerimento