Origine punto stazionario?

[Vsc1]

Salve a tutti,
ho queste due funzioni
$f(x,y)=\{((sen(x^2+y^2))/(x^2+y^2) se (x,y)!=(0,0)),(1 se (x,y)=(0,0)):}$
$f(x,y)=\{(((2x^3 cosy))/(x^2+y^2) se (x,y)!=(0,0)),(0 se (x,y)=(0,0)):}$
come faccio a dire se l'orgine è un pt stazionario? se faccio le derivate parziali al denominatore ottengo $(x^2+y^2)^2$ qundi non dovrebbe essere un pt stazionario ma da come è posto il testo non credo sia così :/
Mi sapreste aiutare?
Grazie

[porzio1]

per calcolare le derivate parziali nell'origine devi ricorrere alla definizione
ad esempio ,per quella rispetto alla x devi calcolare
$lim_{h \to 0}(f(h+0,0)-f(0,0))/h$

[Vsc1]

quindi se entrambi i limiti mi vengono 0 l'origine è stazionario?

[porzio1]

certamente

[Vsc1]

poi per classificarlo come faccio? :/

[21zuclo]

$ lim_((x,y) -> (0,0)) (\sin(x^2+y^2))/(x^2+y^2)=\lim_(\rho\to 0) (\sin(\rho^2))/(\rho^2)=1 $

sono solamente passato in coordinate polari

[Vsc1]

si ma con questo dimostro che è continua ma non che è stazionario, o no?

[porzio1]

con un po' di pazienza
calcolando le derivate seconde sempre applicando le definizioni,tenendo presente qual è l'espressione di $f '_x$ ed $f '_y$ nel campo di esistenza

[Vsc1]

un'ultima cosa nella seconda la derivata parziale di x viene 2 quindi posso dire che non è stazionario? Mi sembra strano perchè il testo mi dice dire se (0,0) è stazionario, dire infine se è max, min o punto a sella

[porzio1]

in fondo,chiede se è stazionario,non dice "dimostrare che è stazionario"

[Vsc1]

ho sbagliato viene zero grazie mille

[porzio1]

a dire il vero,a me viene 2
$lim_{h \to 0}((2h^3)/h^2)/h=2$

[Vsc1]

ah ecco si perchè il cosy tende a 1 avevo fatto bene la prima volta , non ricordo bene cosa ho fatto la seconda pur di farlo venire 0 grazie di nuovo

[Vsc1]

Purtroppo rieccomi per l'ultima cosa dopo aver accurato che per la seconda (0,0) non è stazionario, ho fatto la prima ed invece mi risulta che lo è ma poi nell'hessiana mi ritrovo con 4 zeri, come faccio a classificarlo allora?

[porzio1]

posto $z=x^2+y^2$ ,la funzione ,nei punti diversi dall'origine,assume valore $(senz)/z$ che è sempre minore di 1
per cui nell'origine ha un massimo assoluto (e quindi anche relativo)

[Vsc1]

ok grazie mille