Orientazione superficie e segno dell'integrale

[gabriele9701]

Buongiorno,
sto preparando l'esame di Analisi 2 e guardando una specifica tipologia di esercizi, non sono mai sicuro di star facendo le cose per bene, dato che non sono riuscito a trovare qualcosa che mi faccia capire esattamente come si faccia.

Sto parlando dell'orientazione delle superfici e in particolare del segno che devo anteporre ad un integrale quando applico per esempio il teorema di Stokes sul rotore di un campo vettoriale.

Ecco un esercizio di esempio:



Qui ho un pezzo di sfera, la normale in genere, orientata positivamente, segue il verso del vettore raggio quindi è uscente. Ora, li mi dice che la normale in questione deve formare un angolo acuto con l'asse y. Più in generale quindi, che riferimenti prendo per capire se la normale di una superficie forma un angolo acuto o ottuso? Rispetto a cosa calcolo l'angolo?

Poi ho capito che se mi chiede di calcolare il tutto con la normale "negativa", anche il risultato di, per esempio, l'applicazione del teorema che ho menzionato prima, avrà il segno cambiato.

Grazie

[Studente Anonimo]

"gabriele9701":
... la normale in questione deve formare un angolo acuto con l'asse y ...

Puoi facilmente comprenderlo calcolando il prodotto scalare tra la normale e il versore dell'asse y. Più intuitivamente, se la componente della normale lungo l'asse y è positiva, l'angolo che la normale forma con il medesimo asse è necessariamente acuto. Ovviamente, devi considerare anche le limitazioni imposte dal problema, in questo caso, $y gt= 0$.