Orientare bordo e superficie.
Salve tutti, sono alle prese con superfici orientabili , normali e bordi. Supponiamo che io abbia la seguente superficie :
$ S:{(x,y,z)in RR^3:x^2/4+y^2/9=1<=z<=2} $
Si tratta di un cilindro a base ellittica compreso tra due quote, e fin qui tutto chiaro. Se volessi calcolare il vettore normale alla superficie laterale del cilindro basterebbe calcolare il classico jacobiano ottenendo : $ phi_theta^^phi_z=(3costheta,2sintheta,0) $ ( ometto i calcoli perché non sono assolutamente quelli il mio problema) che è chiaramente uscente, quindi tutto bene.
Stessa cosa con le due superfici di base, ottenendo, in questo caso, 2 vettori con componenti tutte nulle tranne quella $ z $ .
Il concetto di orientazione del bordo non mi è però molto chiaro. Ho letto tutte le regole tra cui quella della " formica che cammina lungo il bordo avendo la normale a sinistra orienta il bordo positivamente... ".
Non capisco però da quale punto di riferimento esterno debba considerare io questo ipotetico osservatore. Se volessi ,ad esempio, orientare positivamente i due bordi di questa superficie cosa verrebbe fuori? La famosa formichina, posta ad esempio sul bordo del piano inferiore $ z=1 $ ha la testa che punta verso la crescenza di $ z $ o verso la decrescenza?
Cambua qualcosa se il piano inferiore fosse stato del tipo $ z=-2 $ ossia con valore negativo? ( la formichina starebbe a testa in giù o sempre solidale con il crescere di $ z $? Come dovrei " girare" sui due bordi? Ringrazio chiunque mi aiuterà. Non vi chiedo di fare conti, semplicemente di farmi ( se possibile) chiarezza tra normali e orientazioni di bordi, poiché con Stokes e Divergenza vorrei essere abbastanza rapido nel vedere questi benedetti vettori
. Purtroppo non ho trovato nessun esempio a riguardo 
$ S:{(x,y,z)in RR^3:x^2/4+y^2/9=1<=z<=2} $
Si tratta di un cilindro a base ellittica compreso tra due quote, e fin qui tutto chiaro. Se volessi calcolare il vettore normale alla superficie laterale del cilindro basterebbe calcolare il classico jacobiano ottenendo : $ phi_theta^^phi_z=(3costheta,2sintheta,0) $ ( ometto i calcoli perché non sono assolutamente quelli il mio problema) che è chiaramente uscente, quindi tutto bene.
Stessa cosa con le due superfici di base, ottenendo, in questo caso, 2 vettori con componenti tutte nulle tranne quella $ z $ .
Il concetto di orientazione del bordo non mi è però molto chiaro. Ho letto tutte le regole tra cui quella della " formica che cammina lungo il bordo avendo la normale a sinistra orienta il bordo positivamente... ".
Non capisco però da quale punto di riferimento esterno debba considerare io questo ipotetico osservatore. Se volessi ,ad esempio, orientare positivamente i due bordi di questa superficie cosa verrebbe fuori? La famosa formichina, posta ad esempio sul bordo del piano inferiore $ z=1 $ ha la testa che punta verso la crescenza di $ z $ o verso la decrescenza?
Cambua qualcosa se il piano inferiore fosse stato del tipo $ z=-2 $ ossia con valore negativo? ( la formichina starebbe a testa in giù o sempre solidale con il crescere di $ z $? Come dovrei " girare" sui due bordi? Ringrazio chiunque mi aiuterà. Non vi chiedo di fare conti, semplicemente di farmi ( se possibile) chiarezza tra normali e orientazioni di bordi, poiché con Stokes e Divergenza vorrei essere abbastanza rapido nel vedere questi benedetti vettori
. Purtroppo non ho trovato nessun esempio a riguardo
Risposte
Supponiamo di orientare questo cilindro con la normale uscente. Ora, immagina di essere sul vettore normale alla base superiore e di guardare in giù verso di essa. In quel caso la frontiera deve essere percorsa in senso antiorario perché l'orientazione sia concorde. Fai la stessa cosa con la base inferiore, ti metti sul versore normale uscente e vedi la frontiera percorsa in senso antiorario.
Ora è ovvio che visto il cilindro "da fuori", le due orientazioni sono opposte.
Ora è ovvio che visto il cilindro "da fuori", le due orientazioni sono opposte.
Grazie mille, sei stato chiarissimo !
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