Orientamento indotto sul bordo di una varietà

[DoraDora1]

Ho un problema sull'integrazione su varietà orientabili con bordo (devo dimostrare questa cosa per poterla sfruttare in una dimostrazione del teorema di Stokes).

Sia $V$ una k-varietà di $RR^n$ orientabile con bordo $delV$ con orientamento indotto da quello di $V$. Sia poi $\omega$ una k-forma su $V$.
Supponiamo che esista un k-cubo singolare su $V$, ossia una funzione continua $c:[0,1]^k\to RR^n$ tc $c([0,1])\sube V$, che conserva l'orientamento di $V$ e tale che $\omega(x)=0 \AA x \notin c([0,1])$. Supponiamo poi che la sua $(k,0)$-faccia, $c_{k,0}$, sia l'unica a giacere su $delV$ (a parole questo è per considerare k-cubi che parametrizzino un pezzo di varietà che comprende il bordo).
Voglio poter dire:
$\int_(delc)\omega = \int_{(-1)^k c_{k,0}}\omega=(-1)^k\int_{c_{k,0}}\omega=\int_(delV)\omega$
- il primo uguale immagino che derivi da come è costruito c rispetto alla forma ma non riesco a dimostrarlo;
- il secondo uguale è per definizione di integrale su una k-catena;
- il terzo dovrebbe venire dal fatto che $c_{k,0}$ conserva l'orientamento di $V$ se e solo se k è pari. Ma questo davvero non lo riesco a vedere...

Un'altra possibilità per risolvere il mio problema è quella di dimostrare che data una k-varietà orientabile con bordo e un k-cubo singolare su V con le caratteristiche di prima, la faccia $(k,0)$ del cubo induce un orientamento concorde con quello indotto dalla varietà sul bordo. A questo punto potrei concludere per definizione d'integrale. Ma anche qui non saprei dove mettere le mani...

Qualcuno ha le idee più chiare di me?

Grazie mille!

[DoraDora1]

Sono per caso stata poco chiara???

grazie ancora