Ordini e preordini
Dal Prodi.
Si dice preordine una relazione binaria assegnata in un insieme, che goda della proprietà riflessiva e transitiva.
Si dice ordinamento un preordinamento che goda anche della proprietà antisimmetrica.
Proprietà antisimmetrica $\forall x \in E, \forall y \in E, (\mathcal{R}(x,y) ^^ \mathcal{R}(y,x))=> x=y$
Dato un preordinamento (rappresentato dal simbolo $<=$) in un insieme $E$, si pone $x_{def} (x<=y) ^^ \not(y<=x)$
Le domande che vorrei farvi riguardano la parte segnata in grassetto.
Io sapevo che $x_{def} (x<=y) ^^ (x!=y)$.
1) Che differenza c'è tra questa definizione di $<$ e quella riportata sopra e presa dal Prodi?
2) Sono equivalenti o sono due cose distinte e separate?
3) Se sono equivalenti che necessità c'è di dare la definizione che ha dato il Prodi?
Si dice preordine una relazione binaria assegnata in un insieme, che goda della proprietà riflessiva e transitiva.
Si dice ordinamento un preordinamento che goda anche della proprietà antisimmetrica.
Proprietà antisimmetrica $\forall x \in E, \forall y \in E, (\mathcal{R}(x,y) ^^ \mathcal{R}(y,x))=> x=y$
Dato un preordinamento (rappresentato dal simbolo $<=$) in un insieme $E$, si pone $x
Le domande che vorrei farvi riguardano la parte segnata in grassetto.
Io sapevo che $x
1) Che differenza c'è tra questa definizione di $<$ e quella riportata sopra e presa dal Prodi?
2) Sono equivalenti o sono due cose distinte e separate?
3) Se sono equivalenti che necessità c'è di dare la definizione che ha dato il Prodi?
Risposte
Beh, che dire, ancora grazie per i chiarimenti che mi hai dato. Sullo questione stilistica, concordo perfettamente, il Prodi è un ottimo manuale (mi prendo il merito di averlo scelto perchè il prof. ci ha dato come testo di riferimento il Marcellini-Sbordone 
)
Ancora grazie per la pazienza.
Buon proseguimento.
)Ancora grazie per la pazienza.
Buon proseguimento.
"WiZaRd":
Si dice ordinamento un preordinamento (relazione riflessiva e transitiva) che goda anche della proprietà antisimmetrica.
Proprietà antisimmetrica $\forall x \in E, \forall y \in E, (\mathcal{R}(x,y) ^^ \mathcal{R}(y,x))=> x=y$
Dato un preordinamento (rappresentato dal simbolo $<=$) in un insieme $E$, si pone $x_{def} (x<=y) ^^ \not(y<=x)$
Le domande che vorrei farvi riguardano la parte segnata in grassetto.
Io sapevo che $x_{def} (x<=y) ^^ (x!=y)$.
1) Che differenza c'è tra questa definizione di $<$ e quella riportata sopra e presa dal Prodi?
2) Sono equivalenti o sono due cose distinte e separate?
3) Se sono equivalenti che necessità c'è di dare la definizione che ha dato il Prodi?
Direi che le due definizioni di $<$ sono equivalenti se $le$ è un ordinamento. Infatti $\not(ylex)$ implica in particolare che $y!=x$; d'altra parte, per contrapposizione, $yle x$ implicherebbe (per la antisimmetria di $le$) che $y=x$.
Se $le$ è un preordinamento allora la proprietà antisimmetrica non la puoi usare nella dimostrazione, quindi non credo ci sia equivalenza (ma non ne sono certo, perchè ancora non ho preso il caffè
).La definizione del Prodi fa entrare nella definizione della relazione d'ordine stretto $<$ solo la relazione $le$: evidentemente ciò gli serve in qualche punto della teoria. Leggi più avanti e vedi come usa la $<$.
Ringrazio entrambi: devo dire che adesso ho le idee molto più chiare.
Quanto a leggere il Prodi, piano piano me lo leggo tutto; quanto alla differenza di impostazione, devo dire che, a mio modesto parere, è molto rilevante tra il Prodi e il Marcellini-Sbordone e onestamente il Prodi mi piace più del Marcellini-Sbordone.
Alla prossima
Quanto a leggere il Prodi, piano piano me lo leggo tutto; quanto alla differenza di impostazione, devo dire che, a mio modesto parere, è molto rilevante tra il Prodi e il Marcellini-Sbordone e onestamente il Prodi mi piace più del Marcellini-Sbordone.
Alla prossima
Anche se Sbordone è un ordinario della mia università, mi vanto di non aver usato il suo libro di teoria. 
[size=75]L'ho usato solo una volta per il teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli, ma la dimostrazione non mi è piaciuta proprio.[/size]
[size=75]L'ho usato solo una volta per il teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli, ma la dimostrazione non mi è piaciuta proprio.[/size]
Perdonami se non mi faccio gli affari miei, ma se non erro il Prof. Sbordone è ordinario alla Federico II di Napoli: hai studiato a Napoli?
"WiZaRd":
Perdonami se non mi faccio gli affari miei, ma se non erro il Prof. Sbordone è ordinario alla Federico II di Napoli: hai studiato a Napoli?
Sisisisisisi
... e ci studio ancora 
Matematica, ovviamente.
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