Ordini di infiniti ed infinitesimi
Ho capito (credo) i concetti e le proprietà, ma dato sono un po' incerto dal punto di vista degli esercizi.
Nel momento in cui avete davanti la richiesta di trovare l'ordine di infinito o di infinitesimo di una funzione (naturalmente, diabolicamente complicata
), come procedete metodologicamente?
Se serve, butto giù io un paio di funzioni.
Nel momento in cui avete davanti la richiesta di trovare l'ordine di infinito o di infinitesimo di una funzione (naturalmente, diabolicamente complicata
), come procedete metodologicamente?Se serve, butto giù io un paio di funzioni.
Risposte
Farlo con un paio di esempi risulta più semplice. Io, in generale, uso gli sviluppi di Taylor (MacLaurin) arrestati ad un certo ordine e faccio un po' di semplificazioni per trovare l'ordine di infinitesimo. L'unica cosa è che, in certi casi, potresti perdere mezz'ora di conti per ritrovarti con un risultato tipo $o(x^{30})$ perché tutto quello che hai scritto di "utile" in qualche modo si cancella... e a quel punto ti tocca ricominciare da capo mettendo termini di ordine più alto nel calcolo che effettui.
Comunque con un po' di esercizio e di occhio, la cosa non è poi molto complicata, solo un po' tediosa alle volte.
Comunque con un po' di esercizio e di occhio, la cosa non è poi molto complicata, solo un po' tediosa alle volte.
In questo caso, ad esempio, come procederesti?
$Ord_+infty (sqrt(x^2*sqrt(x^3+sinx)/sqrt(x^3-sinx)+(x^2-1)*arctgx+x*sqrt(x)))$
$Ord_+infty (sqrt(x^2*sqrt(x^3+sinx)/sqrt(x^3-sinx)+(x^2-1)*arctgx+x*sqrt(x)))$
Basta mettere un po' in evidenza e semplificare, sù...
Per $x\rightarrow+\infty$? Bè, tieni conto che il seno è limitato (quindi viene "mangiato" da qualsiasi potenza della x) e che l'acrcotangente ha un asintoto orizzontale (e quindi va verso un valore finito) e dopo un po' di semplificazioni algebriche hai il risultato! (ut Gugo82 dixit!)
Va ben, ditemi solo se il mio procedimento è corretto o se devo sistemare qualcosa:
$Ord_+infty x^2=2$ naturalmente
Il limite per x che tende a $+infty$ di $sqrt(x^3+sinx)/sqrt(x^3-sinx)$ è 1, quindi questa funzione non è un infinito.
$Ord_+infty(x^2-1)*arctgx=2$ in quanto $arctgx$ tende a pigreco/2.
$Ord_+infty x*sqrt(x)=1+1/2=3/2$
Prendo l'ordine di infinito maggiore trovato fin qui, ovvero 2. Considerando la radice quadrata che ingloba tutto, $Ord_+infty f(x)=2*1/2=1$.
$Ord_+infty x^2=2$ naturalmente
Il limite per x che tende a $+infty$ di $sqrt(x^3+sinx)/sqrt(x^3-sinx)$ è 1, quindi questa funzione non è un infinito.
$Ord_+infty(x^2-1)*arctgx=2$ in quanto $arctgx$ tende a pigreco/2.
$Ord_+infty x*sqrt(x)=1+1/2=3/2$
Prendo l'ordine di infinito maggiore trovato fin qui, ovvero 2. Considerando la radice quadrata che ingloba tutto, $Ord_+infty f(x)=2*1/2=1$.
Yes! 
Bene. Proviamo ora con $Ord_0 root(3)(cosx)-cos(root(3)(x))$. Direi di procedere con MacLaurin per cui:
$root(3)(cosx)=(cosx)^(1/3)=(1-x^2/2+o(x))^(1/3)$
$cos(root(3)(x))=cos(x^(1/3))=(1-x^(2/3)/2+o(x))$
Sia con il limite notevole che con lo sviluppo in serie vedo che l'ordine di ciascuna delle 2 parti è 2/3, quindi quello complessivo è maggiore. Ma come sommo gli sviluppi per trovare il risultato finale?
$root(3)(cosx)=(cosx)^(1/3)=(1-x^2/2+o(x))^(1/3)$
$cos(root(3)(x))=cos(x^(1/3))=(1-x^(2/3)/2+o(x))$
Sia con il limite notevole che con lo sviluppo in serie vedo che l'ordine di ciascuna delle 2 parti è 2/3, quindi quello complessivo è maggiore. Ma come sommo gli sviluppi per trovare il risultato finale?
Attento, cioè che dici è errato! Nessuna delle due funzioni è infinitesima in $x=0$ (il loro valore è 1) quindi nessuna delle due può avere ordine di infinitesimo!
Per sommare tutto, ricorda che
$(1+t)^{1/3}=1+\frac{1}{3} t-\frac{1}{9} t^2+\frac{5}{81} t^3+o(t^4)$
e quindi
$(\cos x)^{1/3}=(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2))^{1/3}=1-\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{36}+o(x^4)$
da cui
$(\cos x)^{1/3}-\cos(x^{1/3})=1-\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{36}+o(x^4)-1+\frac{x^{3/2}}{2}+o(x^{3/2})=\frac{x^{3/2}}{2}+o(x^{3/2})$
e quindi l'ordine di infinitesimo è $\alpha=3/2$.
Per sommare tutto, ricorda che
$(1+t)^{1/3}=1+\frac{1}{3} t-\frac{1}{9} t^2+\frac{5}{81} t^3+o(t^4)$
e quindi
$(\cos x)^{1/3}=(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2))^{1/3}=1-\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{36}+o(x^4)$
da cui
$(\cos x)^{1/3}-\cos(x^{1/3})=1-\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{36}+o(x^4)-1+\frac{x^{3/2}}{2}+o(x^{3/2})=\frac{x^{3/2}}{2}+o(x^{3/2})$
e quindi l'ordine di infinitesimo è $\alpha=3/2$.
Hai ragione, nel mio ragionamento non avevo considerato questa cosa quanto ovvia quanto fondamentale. Ti ringrazio per l'aiuto. 
Prego. E' stato un piacere.
Avrei ancora un infinitesimo dubbio: $Ord_0 x^3*log|x|$=3, giusto?
Ma anche no.
Fai bene i conti tenendo presenti le definizioni.
Fai bene i conti tenendo presenti le definizioni.
Mmh, so solo che $logx$ è un infinito infrareale (non in 0, ovviamente), ma sono senza idee. Forse perchè $log|0|$ non esiste in $RR$? Tra l'altro, a dirla tutta, dovrei confrontare gli ordini di infinitesimo in 0 della funzione di prima e di $int_0^x (e^(-t^2)-1)dt$. Come dovrei ragionare?
Scusa, se $f(x):=x^3*ln|x|$ fosse un infinitesimo d'ordine $3$ dovresti avere per definizione:
$lim_(x\to 0)(|f(x)|)/(|x|^3) " finito e non nullo"$ e $lim_(x\to 0)(|x|^3)/(|f(x)|) " finito e non nullo"$
e non mi pare che ciò accada.
Però succede che:
$lim_(x\to 0) (|f(x)|)/|x|^p=0$ per ogni $0<= p< 3$
$lim_(x\to 0) (|f(x)|)/|x|^p=+oo$ per ogni $ p>= 3$
quindi la tua $f$ è un infinitesimo (ovviamente privo di ordine ma) d'ordine superiore ad ogni $0<= p< 3$.
$lim_(x\to 0)(|f(x)|)/(|x|^3) " finito e non nullo"$ e $lim_(x\to 0)(|x|^3)/(|f(x)|) " finito e non nullo"$
e non mi pare che ciò accada.
Però succede che:
$lim_(x\to 0) (|f(x)|)/|x|^p=0$ per ogni $0<= p< 3$
$lim_(x\to 0) (|f(x)|)/|x|^p=+oo$ per ogni $ p>= 3$
quindi la tua $f$ è un infinitesimo (ovviamente privo di ordine ma) d'ordine superiore ad ogni $0<= p< 3$.
E' vero. Quindi i due infintesimi sono inconfrontabili?
Innanzitutto levati da testa tutte quelle cose inutili tipo "iperreale" e simili, che non servono ai tuoi scopi, e comincia a ragionare su quello che devi fare.
Abbiamo già stabilito che $f(x):=x^3*ln|x|$ è infinitesimo in $0$, che è privo di ordine e che, però, è d'ordine superiore ad ogni infinitesimo d'ordine $p< 3$ e d'ordine inferiore ad ogni infinitesimo d'ordine $p>= 3$.
Ora, poniamo $g(x):=\int_0^x(e^(-t^2)-1)" d"t$ e vediamo se è un infinitesimo dotato di ordine in $0$.
Si ha $g(0)=g'(0)=g''(0)=0$ e $g'''(0) !=0$, cosicchè la formula di Taylor col resto di Peano garantisce che $g(x)=(g'''(0))/6 x^3 +o(x^3)$; pertanto $g$ è un infinitesimo d'ordine $3$ in $0$.*
Quindi si ha:
$lim_(x\to 0) |(f(x))/(g(x))|=lim_(x\to 0) (|f(x)|)/|x|^3 *|x|^3/(|g(x)|)=+oo*1/3=+oo \quad$
e $g$ è d'ordine superiore ad $f$.
__________
* La serie di MacLaurin di $g$ si può ricavare senza fare troppi calcoli sfruttando qualche teorema di Analisi II.
Sviluppando $e^(-t^2)$ in serie di MacLaurin si trova facilmente:
$e^(-t^2)-1=\sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/(n!) t^(2n)$
da cui, integrando t.a.t. (cosa lecita, giacché la serie a secondo membro converge uniformemente sui compatti di $RR$), si ottiene:
$g(x)=\sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)*n!) x^(2n+1) \quad$.
Abbiamo già stabilito che $f(x):=x^3*ln|x|$ è infinitesimo in $0$, che è privo di ordine e che, però, è d'ordine superiore ad ogni infinitesimo d'ordine $p< 3$ e d'ordine inferiore ad ogni infinitesimo d'ordine $p>= 3$.
Ora, poniamo $g(x):=\int_0^x(e^(-t^2)-1)" d"t$ e vediamo se è un infinitesimo dotato di ordine in $0$.
Si ha $g(0)=g'(0)=g''(0)=0$ e $g'''(0) !=0$, cosicchè la formula di Taylor col resto di Peano garantisce che $g(x)=(g'''(0))/6 x^3 +o(x^3)$; pertanto $g$ è un infinitesimo d'ordine $3$ in $0$.*
Quindi si ha:
$lim_(x\to 0) |(f(x))/(g(x))|=lim_(x\to 0) (|f(x)|)/|x|^3 *|x|^3/(|g(x)|)=+oo*1/3=+oo \quad$
e $g$ è d'ordine superiore ad $f$.
__________
* La serie di MacLaurin di $g$ si può ricavare senza fare troppi calcoli sfruttando qualche teorema di Analisi II.
Sviluppando $e^(-t^2)$ in serie di MacLaurin si trova facilmente:
$e^(-t^2)-1=\sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/(n!) t^(2n)$
da cui, integrando t.a.t. (cosa lecita, giacché la serie a secondo membro converge uniformemente sui compatti di $RR$), si ottiene:
$g(x)=\sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n/((2n+1)*n!) x^(2n+1) \quad$.
Ciao avrei una domanda ma l'ordine di infinito di lim 1/[t^2(t-1)]^2/3 per t-> 0 è 2/3 giusto?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo