Ordini di infinitesimo
Salve!
ho calcolato alcuni ordini di infinitesimo e volevo sapere se li ho fatti giusti.
per la funzione $f(x)=e^(2x^7)-1$ per $x->0$ l'ordine di infinitesimo è 7 e la parte principale è$x^7/2$.
per la funzione $f(x)=(2x^2+x^(1/3))/x^3$ per $x->+infty$ l'ordine di infinitesimo è 1 e la parte principale $2x$.
per la funzione $f(x)=sqrt(x+1)-sqrt(x)+1/x$ per $x->+infty$ l'ordine di infinitesimo è 1/2 e la parte principale $1/x$.
grazie!
ho calcolato alcuni ordini di infinitesimo e volevo sapere se li ho fatti giusti.
per la funzione $f(x)=e^(2x^7)-1$ per $x->0$ l'ordine di infinitesimo è 7 e la parte principale è$x^7/2$.
per la funzione $f(x)=(2x^2+x^(1/3))/x^3$ per $x->+infty$ l'ordine di infinitesimo è 1 e la parte principale $2x$.
per la funzione $f(x)=sqrt(x+1)-sqrt(x)+1/x$ per $x->+infty$ l'ordine di infinitesimo è 1/2 e la parte principale $1/x$.
grazie!
Risposte
Ne avessi azzeccato uno! Punto primo, se l'ordine di infinitesimo è $\alpha>0$ allora la parte principale deve essere del tipo $k x^\alpha$ (in $x=0$) o $k/{x^\alpha}$ se $x=+\infty$. Vedi da te che quello che dici è completamente errato.
Come hai svolto i calcoli? Applicando la definizione oppure usando confronti locali?
Come hai svolto i calcoli? Applicando la definizione oppure usando confronti locali?
A me la parte principale della $f_1(x)=2x^7$.. Possibile? (calcolando coi limiti notevoli ho trovato che $lim_(x->0)e^(2x^7)-1=2x^7$, da cui $lim_(x->0)(2x^7)/x^\alpha \rightarrow2\cdotlim_(x->0)x^7/x^\alpha\rightarrow\alpha=7$, quindi la parte principale è $2x^7$)
Nella $f_2(x)$, invece, al numeratore hai considerato $2x^2+x^(1/3)$? Ricordi che bisogna considerare l'infinitesimo con ordine più basso..
Nella $f_2(x)$, invece, al numeratore hai considerato $2x^2+x^(1/3)$? Ricordi che bisogna considerare l'infinitesimo con ordine più basso..
si il primo ho sbagliato a scrivere è $2x^7$...
@robe92: La prima è giusta (anche se si scrive $e^{2x^7}-1\sim 2x^7$ e non quell'uguaglianza coi limiti che non ha senso!). Per la seconda, il limite è per $x\to+\infty$, quindi si scelgono gli esponenti con ordine maggiore. Ne segue che
${2x^2+x^{1/3}}/{x^3}\sim{2x^2}/{x^3}=2/x$
per cui l'ordine di infinitesimo è 1 e la parte principale è $2/x$.
Per l'ultimo, conviene razionalizzare i primi due addendi.
${2x^2+x^{1/3}}/{x^3}\sim{2x^2}/{x^3}=2/x$
per cui l'ordine di infinitesimo è 1 e la parte principale è $2/x$.
Per l'ultimo, conviene razionalizzare i primi due addendi.
nel secondo credo l'ordine sia giusto ho sbagliato a scrivere poi la parte principale che invece di 2x è 2/x.. no?
allora scusa ciampax ma non era così sbagliato da rispondere con una frase del tipo: ne avessi azzeccato uno! si può rispondere più gentilmente...
scusami ciampax ma non stiamo parlando di infinitesimi? il discorso dell'ordine più alto non riguarda gli infiniti?
@ nicknumberten: non ti ho dato dell'idiota. Ti ho detto che hai sbagliato!
@robe92: mi dici la definizione di infinitesimo per $x\to+\infty$ e poi la definizione di parte principale? Perché ti assicuro che sei tu a commettere un errore. Considera che la funzione $f(x)$ del secondo caso è infinitesima perché il suo limite vale zero, e questo perché la potenza più alta a numeratore è più piccola di quella a denominatore. Se ancora non sei convinto, ragiona così: poni: $x=1/t$ in modo che il limite diventa per $t\to 0^+$. Ora la funzione risulta
${2/{t^2}+1/{t^{1/3}}}/{1/t^3}={{2+t^{5/3}}/{t^2}}/{1/{t^3}}=t^3\cdot{2+t^{5/3}}/t^2\sim 2t$
dove nell'ultimo passaggio tengo conto del fatto che avendosi ora $t\to 0$ posso scegliere le potenze più basse. Se invece $x\to+\infty$, a prescindere da infinito o infinitesimo che sia, devo prendere le potenze più alte. E se sei un mio studente (visto che queste cose le spiego fino alla morte) mi auguro per te che sta cosa ora sia chiara!
@robe92: mi dici la definizione di infinitesimo per $x\to+\infty$ e poi la definizione di parte principale? Perché ti assicuro che sei tu a commettere un errore. Considera che la funzione $f(x)$ del secondo caso è infinitesima perché il suo limite vale zero, e questo perché la potenza più alta a numeratore è più piccola di quella a denominatore. Se ancora non sei convinto, ragiona così: poni: $x=1/t$ in modo che il limite diventa per $t\to 0^+$. Ora la funzione risulta
${2/{t^2}+1/{t^{1/3}}}/{1/t^3}={{2+t^{5/3}}/{t^2}}/{1/{t^3}}=t^3\cdot{2+t^{5/3}}/t^2\sim 2t$
dove nell'ultimo passaggio tengo conto del fatto che avendosi ora $t\to 0$ posso scegliere le potenze più basse. Se invece $x\to+\infty$, a prescindere da infinito o infinitesimo che sia, devo prendere le potenze più alte. E se sei un mio studente (visto che queste cose le spiego fino alla morte) mi auguro per te che sta cosa ora sia chiara!
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