Ordini di infinitesimo
Vorrei sapere qual'è l'ordine di infinitesimo della seguente funzione:
$ y=1/(x log x) $
So che l'ordine di $ 1/x $ è 1 e quello di $ log x $ è minore di 1 ma vorrei capire se l'ordine di questa funzione è maggiore, minore o uguale a 1.
Grazie
$ y=1/(x log x) $
So che l'ordine di $ 1/x $ è 1 e quello di $ log x $ è minore di 1 ma vorrei capire se l'ordine di questa funzione è maggiore, minore o uguale a 1.
Grazie
Risposte
Immagino sia per \(x \to +\infty\) e usi \(\dfrac{1}{x}\) come infinitesimo campione.
Per definizione, \(y\) ha ordine di infinitesimo \(\alpha \in \mathbb{R}^+\) se e solo se \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{\left(\frac{1}{x}\right)^\alpha}\) esiste ed è un numero reale diverso da \(0\). Ma come si nota facilmente l'argomento del limite è uguale a \(\dfrac{x^{\alpha - 1}}{\log x}\) che tende a \(0\) per \(\alpha \in (0, 1]\) e a \(+\infty\) per \(\alpha \in (1, +\infty)\), quindi \(y\) non è confrontabile con le potenze di \(\dfrac{1}{x}\).
Per definizione, \(y\) ha ordine di infinitesimo \(\alpha \in \mathbb{R}^+\) se e solo se \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{y}{\left(\frac{1}{x}\right)^\alpha}\) esiste ed è un numero reale diverso da \(0\). Ma come si nota facilmente l'argomento del limite è uguale a \(\dfrac{x^{\alpha - 1}}{\log x}\) che tende a \(0\) per \(\alpha \in (0, 1]\) e a \(+\infty\) per \(\alpha \in (1, +\infty)\), quindi \(y\) non è confrontabile con le potenze di \(\dfrac{1}{x}\).
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