Ordini di infinitesimo

[Gab09z]

Ciao, svolgendo gli studi di funzioni integrali, quando devo studiare l'insieme di definizione della funzione ho difficoltà nella verifica del comportamento dell'integranda nell'intorno dei punti in cui non risulta definita. In particolare, quando studio convergenza e divergenza in tali punti, se il punto in questione è 0 riesco facilmente utilizzando gli Sviluppi di Taylor, ma se il punto è diverso da zero come si procede? Scrivo di seguito la parte dell'integranda di cui non riesco a determinare l'ordine di infinitesimo per $ trarr pi $ e $ trarr -pi/2 $ :

$ (2t^2-pi t-pi ^2)root(3)(t-arctan t) $

So che è di ordine 1, ma vorrei capire come dedurlo. Grazie

[21zuclo]

aspé che non ho capito, cioè quella che hai scritto è una funzione integrale? quali sono gli estremi integrazione?

Una funzione integrale, la si trova in questa forma $F(x)=\int_(a)^x f(t)dt$

Tu mi stai dicendo che la tua $f(t)$ è questa $f(t)= (2t^2-pi t-pi ^2)root(3)(t-arctan t) $

e ma l'estremo sinistro di integrazione qual è?..

[Gab09z]

Immaginavo di non essere stato chiaro. La funzione è questa:
$ f(x)= int_(0)^(x) (sqrtsint)/((2t^2−πt−π^2)root(3)(t-arctant)) dt $
Ma quello che mi interessa è capire l'ordine d'infinitesimo del denominatore per $ trarr pi $ e $ trarr -pi/2 $ (punti in cui il denominatore dell'integranda $ g(t) $ non è definito).
Grazie

[Quinzio]

"Gab09z":

$ (2t^2-pi t-pi ^2)root(3)(t-arctan t) $

So che è di ordine 1, ma vorrei capire come dedurlo. Grazie

Perchè $(2t^2-pi t-pi ^2)=(2t+\pi)(t-pi)$.

Quindi l'ordine di infinitesimo è 1.

[21zuclo]

@Gab09z
ti dico in generale il procedimento da eseguire

$F(x)$ è un'infinitesimo di ordine $\alpha$ ($\alpha\in(0,+\infty)$) rispetto a $g(x)$ per $x\to p$

($p\in\bar{RR}$ punto di accumulzione per $D_F$) se esiste $\beta>0$ tale che $\lim_{x\to p} (F(x))/(|g(x)|^(\alpha))=\beta$

Se l'infinitesimo $g(x)$ non viene specificato è sottinteso che sia

$g(x)=x-x_0$ se $p=x_0\in RR$

$g(x)=1/x$ se $p=\pm \infty$

[Plepp]

"21zuclo":@Gab09z
$F(x)$ è un'infinitesimo di ordine $\alpha$ ($\alpha\in(0,+\infty)$) rispetto a $g(x)$ per $x\to p$

($p\in\bar{RR}$ punto di accumulzione per $D_F$) se esiste $\beta>0$ tale che $\lim_{x\to p} (F(x))/(|g(x)|^(\alpha))=\beta$

@21zuclo.
Questa è un po' restrittiva come definizione. Più in generale, date - rimanendo coerente con le tue notazioni - $F,g : A\to RR$, $p\in\text{Dr}(A)$ ($p$ p.d.a. di $A$), con $F,g$ definitivamente non nulle intorno a $p$, si dice che $F$ è infinitesima di ordine $\alpha >0$ rispetto a $g$ se esistono due costanti positive $h,k\in\RR$ tali che definitivamente
\[h<\left|\dfrac{F(x)}{|g(x)|^\alpha}\right| intorno a $p$.

E' evidente che se $F$ è infinitesima di ordine $\alpha$ rispetto a $g$ nel senso di cui parli tu, allora lo è anche secondo questa definizione, mentre non è vero il viceversa (e.g. la funzione definita da $f(x):=\max{x,x/2}$, infinitesima in $0$ di ordine $1$ rispetto a $g(x):=x$).

[21zuclo]

@Plepp
ah ok, è solo che quella cosa che ho scritto ce l'aveva fatta scrivere l'esercitatore a lezione. Mi ero ricordato di questo esercizio di calcolare l'ordine di infintesimo di una funzione integrale, e l'esercitatore ci aveva scritto quanto ho postato sopra.

Tutto qui.

[Plepp]

Non è che devi scusarti eh xD Né voleva essere una sorta di "rimprovero", ci mancherebbe. Alla fine sono semplici definizioni, qualcosa su cui "ci si mette d'accordo". La definizione che ho enunciato, però, fa meglio il suo lavoro rispetto a quella che hai dato tu, ovvero quello di descrivere una situazione in cui due funzioni vanno a zero con la stessa "rapidità": non è indispensabile che il limite del loro rapporto esista (finito e non nullo).