Ordine sviluppi Taylor e limiti

[Cremo2]

Buongiorno a tutti, ho un dubbio su che ordine devo usare per gli sviluppi di Taylor nel calcolo dei limiti. Cerco di spiegarmi meglio:

$(sen(x^2) - ln^2(1+x))/(((1+x^3)^(1/2))-1)$

Questo limite é 2 in quanto con gli sviluppi di taylor ottengo:

$(x^3*(1+((o(x^3))/(x^3))))/(x^3*((1/2)+((o(x^3))/x^3)))=2$

Per scriverlo in questa forma:
$sen(x^2)= x^2-((x^6)/2)+o(x^6)$ al 6° grado.

$(ln(1+x))^2= x^2-x^3+o(x^3)$ al 3° grado

quindi : $(sen(x^2) - ln^2(1+x)) = x^2-((x^6)/2)+o(x^6)-x^2+x^3+o(x^3) = x^3+o(x^3)$

Se avessi sviluppato entrambi al 6° grado:
$sen(x^2)= x^2-((x^6)/2)+o(x^6)$
$(ln(1+x))^2= x^2-x^3+11x^4/12+5x^5/6-137x^6/180 +o(x^6)$
cosi non riesco più a scrivere il numeratore come $x^n*(a +(o(x^n))/x^n)$ che è come dovrei scriverlo per quanto riporta il mio libro di analisi. Non importa se uno sviluppo è di un ordine superiore all'altro? Se avessi usato entrambi sviluppi di ordine 6 come potevo riscriverlo in questa forma?
Grazie a tutti.

[Seneca1]

"Cremo":
$sen(x^2)= x^2-((x^6)/2)+o(x^6)$
$(ln(1+x))^2= x^2-x^3+11x^4/12+5x^5/6-137x^6/180 +o(x^6)$

Che problema c'è? Non cambia niente.

Il numeratore (ammesso che gli sviluppi trovati da te siano corretti) assume questa forma qui:

$ - ((x^6)/2) + x^3 - 11x^4/12 - 5x^5/6 + 137x^6/180 + o(x^6)$

Raccogli $x^3$ e hai: $x^3 (1 - (x^3)/2 - 11x/12 - 5x^2/6 + 137x^3/180 + (o(x^6))/x^3 )$

con $(o(x^6))/x^3 -> 0$ per $x -> 0$.

Arrivato a questo punto ti accorgi che avresti potuto anche risparmiare fatica e sviluppare un po' meno termini...

"Cremo":
cosi non riesco più a scrivere il numeratore come $x^n*(a +(o(x^n))/x^n)$ che è come dovrei scriverlo per quanto riporta il mio libro di analisi.

Vedi, non è esattamente in quella forma, ma va bene lo stesso. In parentesi hai un sacco di termini infinitesimi per $x -> 0$; questo è l'importante.

[Cremo2]

Avevo pensato a raccogliere così in modo da avere termini infinitesimi ma avevo un dubbio sul fatto di ritrovarmi con:

$(o(x^6))/x^3$

tende a zero?

Dico questo perchè sul mio libro c'è un esempio in cui trovo $lim x->0 ((o(x))/x^3 )$ ed è ripotato che non da alcun risultato perchè "Sappiamo solo che il numeratore tende a 0 se diviso per $x$, nulla possiamo dedurre sul suo comportamento quando diviso per $x^3$

[Seneca1]

"Cremo": "Sappiamo solo che il numeratore tende a 0 se diviso per $x$, nulla possiamo dedurre sul suo comportamento quando diviso per $x^3$

Va benissimo. In termini di infinitesimi, se accade la seguente cosa:

$lim_(x -> 0) (o(x^3))/x^3 = 0$

cosa vuol dire?

[Cremo2]

Dalla definizione di o piccolo $f=o(g) per x->x_0$ se $lim_(x->x_0) f(x)/g(x)=0$ , cioè che $f(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore a $g(x)$, cioè che $f(x)$ tende a zero più velocemente di $g(x)$. Quindi $(o(x^3))/x^3=0$ vuol dire che il numeratore è un infinitesimo superiore per $x^3$ e quindi $lim_(x->x_0) (o(x^3))/x^3=0$. Allora $lim_(x->x_0) (o(x^6))/x^4=0$ perchè il numeratore tende a zero se diviso per $x^6$ cioè che è un infinitesimo di ordine superiore per $x^6$ e quindi anche per $x^4$.
Giusto o mi sono perso nel ragionamento?

[Seneca1]

Il ragionamento è corretto.

Aggiungo che se ti trovi dinanzi a $lim_(x-> 0) (o(x))/x^2$ , non puoi dire niente sul valore del limite, perché il numeratore può essere dell'ordine di $x^2$ o anche di ordine superiore.

[Cremo2]

Si, perchè so che è un infinitesimo di ordine superiore per $x$, non so come si comporta per $x^2$ o per $x$ di ordine superiore.