Ordine polo

[ciuf_ciuf]

Ragazzi non riesco a capire perchè in $ 1/(1-cosz) $ lo 0 è polo di ordine 2. Qualcuno potrebbe spiegarmelo ? Grazie

[Paolo902]

Non so nulla di analisi complessa, ma se la definizione di polo è quella che penso allora direi che ti basta ricordare un limite notevole ( $\lim_(z \to 0) (1-cos(z))/z^2 = ...$ da cui...).

[ciuf_ciuf]

"Paolo90":Non so nulla di analisi complessa, ma se la definizione di polo è quella che penso allora direi che ti basta ricordare un limite notevole ( $\lim_(z \to 0) (1-cos(z))/z^2 = ...$ da cui...).

Vero, viene un numero finito quindi numeratore e denominatore hanno stesso "ordine". Se qualcuno può però vorrei anche una spiegazione attinente all'analisi complessa in modo da farmi un' idea e capire meglio come affrontare i futuri esercizi.

[Sk_Anonymous]

Se sei interessato allo sviluppo in serie di Laurent:

$1/(1-cosz)=1/(1-1+z^2/2-z^4/24+...)=1/(z^2/2(1-z^2/12+...))=2/z^2(1+z^2/12+...)=2/z^2+1/6+...$

In ogni modo, per completezza, sarebbe meglio utilizzare il simbolo di serie.

[ciuf_ciuf]

"speculor":Se sei interessato allo sviluppo in serie di Laurent:

$1/(1-cosz)=1/(1-1+z^2/2-z^4/24+...)=1/(z^2/2(1-z^2/12+...))=2/z^2(1+z^2/12+...)=2/z^2+1/6+...$

In ogni modo, per completezza, sarebbe meglio utilizzare il simbolo di serie.

No, per lo sviluppo in serie di Laurent l'ho capito come fare. Non capisco semplicemente perché è di ordine 2. Per esempio si vede subito che $1/z^2$ ha un polo in zero di ordine 2 ma $1-cosz$ non riesco proprio a capire perchè !

[Sk_Anonymous]

Non ho capito, stiamo parlando di $f(z)=1-cosz$ o di $f(z)=1/(1-cosz)$? Lo chiedo perchè, mentre nel 1° caso non hai un polo, nel 2° mi sembra abbastanza ovvio che sia di ordine $2$, basta guardare lo sviluppo in serie di Laurent.

[ciuf_ciuf]

"speculor":Non ho capito, stiamo parlando di $f(z)=1-cosz$ o di $f(z)=1/(1-cosz)$? Lo chiedo perchè, mentre nel 1° caso non hai un polo, nel 2° mi sembra abbastanza ovvio che sia di ordine $2$, basta guardare lo sviluppo in serie di Laurent.

Sto considerando $f(z)=1/(1-cosz)$, comunque forse ho capito perché è di 2° ordine, in caso datemi conferma. E' di 2° ordine perché sia $(1-cosz)$ che la sua derivata si annulla per 0. Giusto ?!

[Sk_Anonymous]

Ciò che dici equivale a dire che, se $f(z)$ ha una radice di ordine $2$ in $0$, allora $1/f(z)$ ha un polo di ordine $2$ in $0$. Ma più semplicemente, l'ordine di un polo è dato dalla potenza più negativa del suo sviluppo in serie di Laurent.

[ciuf_ciuf]

"speculor":Ciò che dici equivale a dire che, se $f(z)$ ha una radice di ordine $2$ in $0$, allora $1/f(z)$ ha un polo di ordine $2$ in $0$. Ma più semplicemente, l'ordine di un polo è dato dalla potenza più negativa del suo sviluppo in serie di Laurent.

D'accordo ma fare lo sviluppo in serie di Laurent ogni volta che si vuole sapere di che ordine è un polo non mi sembra molto comodo

[Sk_Anonymous]

Fare lo sviluppo in serie di Laurent può essere considerato un metodo "forza bruta", ma ha il pregio di non dover indovinare a priori l'ordine del polo mediante considerazioni, sono d'accordo con te, più raffinate.