Ordine infinitesimo e parte principale
Non ho le soluzioni di questo esercizio mi verificate se è corretto come ho risolto?
Esercizio:
Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per \(\displaystyle x → 0 \) della funzione \(\displaystyle f(x) = xcosx − e^x + 1 \).
Svolgimento:
$lim_(x -> 0) $ \(\displaystyle (xcosx − e^x + 1)\)
Essendo \(\displaystyle (e^x - 1) \)$ ~ $ \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle (1- cosx) \)$~$\(\displaystyle x^2/2 \) diventa
$lim_(x -> 0) $ \(\displaystyle (xcosx − x)= x(cosx-1) = -x^3/2\)
Quindi l'ordine di infinitesimo è 3, e la parte principale?
Esercizio:
Determinare l’ordine di infinitesimo e la parte principale per \(\displaystyle x → 0 \) della funzione \(\displaystyle f(x) = xcosx − e^x + 1 \).
Svolgimento:
$lim_(x -> 0) $ \(\displaystyle (xcosx − e^x + 1)\)
Essendo \(\displaystyle (e^x - 1) \)$ ~ $ \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle (1- cosx) \)$~$\(\displaystyle x^2/2 \) diventa
$lim_(x -> 0) $ \(\displaystyle (xcosx − x)= x(cosx-1) = -x^3/2\)
Quindi l'ordine di infinitesimo è 3, e la parte principale?
Risposte
Gli ultimi passaggi che hai fatto non mi sono molto chiari.
Comunque, devi determinare $\alpha$ tale che $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x -e^x+1}{x^{\alpha}}= l \in (0,+\infty)$. Controlla se per $\alpha=3$ funziona.
La parte principale è semplicemente $l x^{\alpha}$.
EDIT: scusami, avevo letto un po' velocemente. Credo che tu intendessi dire che, poiché \(\displaystyle e^x-1 \sim x \) allora \(\displaystyle x \cos x -e^x-1 \sim x \cos x -x \). Ma questo è sbagliato.
Piuttosto io scriverei $e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$, fermandomi all'ordine che mi serve.
Comunque, devi determinare $\alpha$ tale che $\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x -e^x+1}{x^{\alpha}}= l \in (0,+\infty)$. Controlla se per $\alpha=3$ funziona.
La parte principale è semplicemente $l x^{\alpha}$.
EDIT: scusami, avevo letto un po' velocemente. Credo che tu intendessi dire che, poiché \(\displaystyle e^x-1 \sim x \) allora \(\displaystyle x \cos x -e^x-1 \sim x \cos x -x \). Ma questo è sbagliato.
Piuttosto io scriverei $e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$, fermandomi all'ordine che mi serve.
Figurati sono io che ho scritto un po' disordinato. Comunque ora provo a rifare come mi hai detto, ma come mai non posso prima fare l'asintotico di \(\displaystyle (e^x−1) \) e poi quello di \(\displaystyle (1-cosx) \)?
In generale se \(\displaystyle f(x) \sim \bar{h} (x) \) e \(\displaystyle g(x) \sim l(x) \), non è vero che \(\displaystyle f(x)+g(x) \sim h(x)+l(x) \).
Infatti, prova a confrontare queste due somme: $\frac{f(x)+g(x)}{h(x)+l(x)}=\frac{f(x)}{h(x)}\frac{1+\frac{g(x)}{f(x)}}{1+\frac{l(x)}{h(x)}}$. Non riesci a concludere che il limite sia $1$, a meno che non sia anche \(\displaystyle f(x) \sim g(x) \) e \(\displaystyle h(x) \sim l(x) \).
Il problema è che nella somma "prevale" l'infinitesimo di ordine minore e, facendo passaggi del genere, stai assumendo che le funzioni che sommi siano invece dello stesso ordine. Come ti accorgerai quando avrai risolto l'esercizio, questo non è vero (quindi "perdi delle informazioni importanti")
P.S.: è vero invece che \(\displaystyle f(x) \sim h(x) \) e \(\displaystyle g(x) \sim l(x) \Rightarrow f(x)g(x) \sim h(x)l(x) \). Prova a dimostrarlo per esercizio.
Infatti, prova a confrontare queste due somme: $\frac{f(x)+g(x)}{h(x)+l(x)}=\frac{f(x)}{h(x)}\frac{1+\frac{g(x)}{f(x)}}{1+\frac{l(x)}{h(x)}}$. Non riesci a concludere che il limite sia $1$, a meno che non sia anche \(\displaystyle f(x) \sim g(x) \) e \(\displaystyle h(x) \sim l(x) \).
Il problema è che nella somma "prevale" l'infinitesimo di ordine minore e, facendo passaggi del genere, stai assumendo che le funzioni che sommi siano invece dello stesso ordine. Come ti accorgerai quando avrai risolto l'esercizio, questo non è vero (quindi "perdi delle informazioni importanti")
P.S.: è vero invece che \(\displaystyle f(x) \sim h(x) \) e \(\displaystyle g(x) \sim l(x) \Rightarrow f(x)g(x) \sim h(x)l(x) \). Prova a dimostrarlo per esercizio.
Ok, ho capito adesso!
Ma per l'esercizio precedente ho ancora parecchia confusione!
Devo rifarlo calcolando gli sviluppi di taylor sia del coseno e che dell'esponenziale? devo arrestarmi al primo ordine che mi faccia risultare $ \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x -e^x+1}{x^{\alpha}}= l \in (0,+\infty) $ ?
Il coseno si sviluppa nel seguente modo: $ sum((-1)^n(x^(2n))/((2n)!)) + o(x^(2n)) $
e l'esponenziale nel seguente: $ sum((x^(n))/(n!)) + o(x^(n)) $
Mi sembra di capire che l'ordine sia determinato dal grado dell' \(\displaystyle o(x) \) quindi se provo a sviluppare al 4 ordine (ipotesi del tutto casuale dal momento che non so come procedere) sarà:
$ cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $
$ e^x= 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+o(x^4) $
In definitiva passando ai calcoli:
$ x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^4))-( 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+o(x^4))+1$
Svolgo qualche calcolo, ma non so come affrontare il prodotto tra \(\displaystyle x \) e o\(\displaystyle (x^4) \)...
$ x-x^3/2+x^5/24+o(x^4)-1-x-x^2/2-x^3/6-x^4/24-o(x^4)+1= -x^2/2-2x^3/3-x^4/24+x^5/24 $
Come se non bastasse \(\displaystyle o(x) \) si sempifica.
Mi sembra di aver fatto un sacco di calcoli inutili perchè ora non so cosa fare
Ma per l'esercizio precedente ho ancora parecchia confusione!
Devo rifarlo calcolando gli sviluppi di taylor sia del coseno e che dell'esponenziale? devo arrestarmi al primo ordine che mi faccia risultare $ \lim_{x \to 0} \frac{x \cos x -e^x+1}{x^{\alpha}}= l \in (0,+\infty) $ ?
Il coseno si sviluppa nel seguente modo: $ sum((-1)^n(x^(2n))/((2n)!)) + o(x^(2n)) $
e l'esponenziale nel seguente: $ sum((x^(n))/(n!)) + o(x^(n)) $
Mi sembra di capire che l'ordine sia determinato dal grado dell' \(\displaystyle o(x) \) quindi se provo a sviluppare al 4 ordine (ipotesi del tutto casuale dal momento che non so come procedere) sarà:
$ cosx=1-x^2/2+x^4/24+o(x^4) $
$ e^x= 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+o(x^4) $
In definitiva passando ai calcoli:
$ x(1-x^2/2+x^4/24+o(x^4))-( 1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24+o(x^4))+1$
Svolgo qualche calcolo, ma non so come affrontare il prodotto tra \(\displaystyle x \) e o\(\displaystyle (x^4) \)...
$ x-x^3/2+x^5/24+o(x^4)-1-x-x^2/2-x^3/6-x^4/24-o(x^4)+1= -x^2/2-2x^3/3-x^4/24+x^5/24 $
Come se non bastasse \(\displaystyle o(x) \) si sempifica.
Mi sembra di aver fatto un sacco di calcoli inutili perchè ora non so cosa fare
la parte principale è il primo termine dello sviluppo di taylor. l'ordine di infinitesimo è quindi 2. questo esercizio, essendo molto semplice, era risolvibile anche con il teorema di de l'hopital.
$ lim_(x -> 0)(xcosx-e^x+1)/x^a =lim_(x->0)(cosx-xsinx-e^x)/(a*x^(a-1))=lim_(x->0)(-2sinx-xcosx-e^x)/(a*(a-1)x^(a-2))=l $
allora
$ lim_(x->0)(-e^x)/(a*(a-1)x^(a-2))=l=>a-2=0=>a=2 $
e quindi
$ lim_(x -> 0)(xcosx-e^x+1)/x^2=-1/2=>p(x)=-x^2/2 $
$ lim_(x -> 0)(xcosx-e^x+1)/x^a =lim_(x->0)(cosx-xsinx-e^x)/(a*x^(a-1))=lim_(x->0)(-2sinx-xcosx-e^x)/(a*(a-1)x^(a-2))=l $
allora
$ lim_(x->0)(-e^x)/(a*(a-1)x^(a-2))=l=>a-2=0=>a=2 $
e quindi
$ lim_(x -> 0)(xcosx-e^x+1)/x^2=-1/2=>p(x)=-x^2/2 $
Bene dai allora anche se con un po' di calcoli in più era giusto quel che avevo scritto, grazie mille a entrambi!
Attento però a non semplificare gli o-piccoli, come hai fatto su. $o(f(x))-o(f(x))$ è ancora un $o(f(x))$. Questo perché $o(f(x))$ indica una funzione infinitesima di ordine maggiore rispetto a $f(x)$, ma non sempre la stessa funzione.
"Antimius":
Attento però a non semplificare gli o-piccoli, come hai fatto su. $o(f(x))-o(f(x))$ è ancora un $o(f(x))$. Questo perché $o(f(x))$ indica una funzione infinitesima di ordine maggiore rispetto a $f(x)$, ma non sempre la stessa funzione.
si è vero ho dimenticato a dirglielo ma avevo notato anche io questo erroraccio XD
mentre ci sono cerco di chiarirti anche un altro dubbio:
"polloalcurry":
Svolgo qualche calcolo, ma non so come affrontare il prodotto tra x e $o(x^4)$...
l'o-piccolo sta a significare che ci sono dei termini aggiuntivi di un grado maggiore (in questo caso di 4). quindi se moltiplichi x per o(x^4) è come se moltiplicassi x*(ax^5+bx^6+...) e tutti questi termini, essendo termini di grado maggiore di 4, li racchiudi sempre nella scrittura o(x^4).
Chiarissimo perfetto!
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