Ordine infinitesimo e infinito con parametro

[nick_10]

Salve a tutti! Ho un problema con questo esercizio:
"Si consideri la funzione $f:(0,+infty)\toRR$ $f(x)=x^4/arctan(x^3)-ax^3/arctan(x^2)$. Determinare in funzione del parametro a>0 ordine di infinitesimo/infinito e parte principale per x che tende a zero( che tende a $infty$)
Per l'ordine di infinitesimo dovrebbe venirmi in aiuto Taylor, mentre per l'infinito? Non dovrebbe "comandare" soltanto il fattore x^4??

[otta96]

"nick_10": mentre per l'infinito? Non dovrebbe "comandare" soltanto il fattore x^4??

Si, perché l'arcotangente è limitata, per $x->0$ puoi fare così: nota che sia $x^3/arctan(x^3)$, sia $x^2/arctan(x^2)$ tendono a 1, quindi $f(x)=x(1-a+\sigma(x))$ (non so se c'è un simbolo per indicare o piccolo, accontentati di sigma), quindi se $a!=1$, è un infinitesimo del prim'ordine.
Prova a farlo da solo il caso $a=1$, se proprio non ti riesce, almeno posta un tentativo di risoluzione.

[nick_10]

Intanto grazie! Io ero arrivato a questo punto infatti:
$x^4/arctan(x^3)-ax^3/arctan(x^2)=(x^4arctan(x^2)-ax^3arctan(x^3))/(arctan(x^3)*arctan(x^2))$ E tramite sviluppi ho ottenuto: $(x^6-ax^6+o(x^6))/(x^5+o(x^5))$. Quindi nel caso a sia diverso da 1 l'ordine di infinitesimo e la parte principale risultano essere $(1-a)x$
Nel caso invece di a=1, se continuo a sviluppare il numeratore dovrebbe risultare $~-2/9x^12/x^5$, dunque un infinitesimo di ordine 7

[otta96]

A me torna $~x^10/(3x^5)$, dunque un infinitesimo di ordine 5, con parte principale $1/3$.

[nick_10]

Sisi adesso anche a me!
Grazie per l'aiuto e la pazienza