Ordine infinitesimo
Buongiorno a tutti.
Ho studiato la determinazione dell'ordine dell'infinitesimo di una funzione e ora, nello svolgere l'esercizio, mi trovo davanti una funzione abbastanza complessa alla quale, ahimè, non so approcciare. Cercando di studiare come fare, e facendo ricerche di teoria anche sul web, chi suggerisce l'applicazione dei limiti notevoli, chi lo sviluppo in serie, fatto sta che con questa funzione non riesco proprio a districarmi. Qualcuno può aiutarmi per favore?
Infinitesimo di \(\displaystyle x \longrightarrow + \infty\ \)
\(\displaystyle \sqrt[3]{1+e^{{1 \over x^2}}-x sin{1 \over x}} - 1 \)
Grazie mille a tutti.
Ho studiato la determinazione dell'ordine dell'infinitesimo di una funzione e ora, nello svolgere l'esercizio, mi trovo davanti una funzione abbastanza complessa alla quale, ahimè, non so approcciare. Cercando di studiare come fare, e facendo ricerche di teoria anche sul web, chi suggerisce l'applicazione dei limiti notevoli, chi lo sviluppo in serie, fatto sta che con questa funzione non riesco proprio a districarmi. Qualcuno può aiutarmi per favore?
Infinitesimo di \(\displaystyle x \longrightarrow + \infty\ \)
\(\displaystyle \sqrt[3]{1+e^{{1 \over x^2}}-x sin{1 \over x}} - 1 \)
Grazie mille a tutti.
Risposte
Qual è il problema di preciso? Riesci a determinare lo sviluppo asintotico delle funzioni in gioco?
Ciao MatheMato,
Per evitare di applicare subito gli sviluppi in serie, prova a scriverla così:
$ f(x) = \root[3]{1+e^{1/x^2} - x sin(1/x)} - 1 = \root[3]{1+ [e^{1/x^2} - sin(1/x)/(1/x)]} - 1 $
Posto $g(x) := e^{1/x^2} - sin(1/x)/(1/x) $, si ha $g(x) \to 0 $ per $x to +\infty $, per cui si può sfruttare il limite notevole seguente:
$\lim_{g(x) \to 0} \frac{[1+ g(x)]^a - 1}{g(x)} = a $
ove nel tuo caso $a = 1/3 $
Per evitare di applicare subito gli sviluppi in serie, prova a scriverla così:
$ f(x) = \root[3]{1+e^{1/x^2} - x sin(1/x)} - 1 = \root[3]{1+ [e^{1/x^2} - sin(1/x)/(1/x)]} - 1 $
Posto $g(x) := e^{1/x^2} - sin(1/x)/(1/x) $, si ha $g(x) \to 0 $ per $x to +\infty $, per cui si può sfruttare il limite notevole seguente:
$\lim_{g(x) \to 0} \frac{[1+ g(x)]^a - 1}{g(x)} = a $
ove nel tuo caso $a = 1/3 $
Grazie mille pilloeffe per la tua disponibilità. Allora ci ho pensato e riflettuto, ma non so se è corretto.
$ f(x) = \root[3]{1+e^{1/x^2} - x sin(1/x)} - 1 = \root[3]{1+ [e^{1/x^2} - sin(1/x)/(1/x)]} - 1 $
$g(x) := e^{1/x^2} - sin(1/x)/(1/x) $, si ha
$\lim_{g(x) \to 0} \frac{[1+ g(x)]^(1/3) - 1}{g(x)} = 1/3 $
Questo vuol dire che è un infinitesimo dello stesso ordine di $g(x) := e^{1/x^2} - x sin(1/x) $ .
Ho determinato l'infinitesimo di g(x) attraverso l'utilizzo dello sviluppo in serie di Taylor
Posto $t = 1/x $, si ha
$\lim_{t \to 0} e^{t^2} - sin t / t $
$e^{t^2}=1+t^2+t^4/(2)+o(t^4)$
$-sint/t=-1+t^2/(6)-t^4/(5!)+o(t^4)$
Ho quindi
$\lim_{t \to 0} (7/6) t^2 + (59/120) t^4 + o(t^4)$
Si tratta di un infinitesimo di ordine 2
$ f(x) = \root[3]{1+e^{1/x^2} - x sin(1/x)} - 1 = \root[3]{1+ [e^{1/x^2} - sin(1/x)/(1/x)]} - 1 $
$g(x) := e^{1/x^2} - sin(1/x)/(1/x) $, si ha
$\lim_{g(x) \to 0} \frac{[1+ g(x)]^(1/3) - 1}{g(x)} = 1/3 $
Questo vuol dire che è un infinitesimo dello stesso ordine di $g(x) := e^{1/x^2} - x sin(1/x) $ .
Ho determinato l'infinitesimo di g(x) attraverso l'utilizzo dello sviluppo in serie di Taylor
Posto $t = 1/x $, si ha
$\lim_{t \to 0} e^{t^2} - sin t / t $
$e^{t^2}=1+t^2+t^4/(2)+o(t^4)$
$-sint/t=-1+t^2/(6)-t^4/(5!)+o(t^4)$
Ho quindi
$\lim_{t \to 0} (7/6) t^2 + (59/120) t^4 + o(t^4)$
Si tratta di un infinitesimo di ordine 2
Io mi sarei tenuto $1/x $, ma il risultato è quello...
A me il limite viene 0
Ho sostituito $y=1/x$ ed ottenuto questa forma:
$ root(3)(lim_(y -> 0)[2+y^2(e^(y^2)-1) /y^2 -sin(y)/y]) -1=root(3)(2+0*1 -1)-1=1-1=0 $
Ho sostituito $y=1/x$ ed ottenuto questa forma:
$ root(3)(lim_(y -> 0)[2+y^2(e^(y^2)-1) /y^2 -sin(y)/y]) -1=root(3)(2+0*1 -1)-1=1-1=0 $
@obidream Sappi che ho visto 
...e potrei anche raccontare cosa ho visto, quindi ti ho in pugno.
...e potrei anche raccontare cosa ho visto, quindi ti ho in pugno.
"Bokonon":
@obidream Sappi che ho visto
...e potrei anche raccontare cosa ho visto, quindi ti ho in pugno.
Mi cospargo il capo di cenere, battute a parte quel $-1$ me lo sono proprio dimenticato
Comunque il fatto che quel limite faccia 0 ha senso no? In fondo l'esercizio chiedeva di stabilire l'ordine di infinitesimo
@obidream
Beh alla fine il limite è quello sotto radice...e (lo dico solo perchè leggendo qua i commenti su Taylor e i limiti notevoli), i limiti notevoli non sono altro che sviluppi di Taylor di primo ordine.
$lim_(y -> 0)(e^(y^2)-1) /y^2 ~ ((1+y^2)-1) /y^2$
$lim_(y -> 0) sin(y)/y ~y/y$
Uno o l'altro vanno bene...meglio Taylor perchè in alcuni casi il primo ordine non basta. Tutto qua.
Beh alla fine il limite è quello sotto radice...e (lo dico solo perchè leggendo qua i commenti su Taylor e i limiti notevoli), i limiti notevoli non sono altro che sviluppi di Taylor di primo ordine.
$lim_(y -> 0)(e^(y^2)-1) /y^2 ~ ((1+y^2)-1) /y^2$
$lim_(y -> 0) sin(y)/y ~y/y$
Uno o l'altro vanno bene...meglio Taylor perchè in alcuni casi il primo ordine non basta. Tutto qua.
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