Ordine e grado di una serie
Ho una funzione che equivale ad una serie di potenze così scritta:
$C(u) = K_(0) + K_(1)(u) + K_(2)(u)^2 +....+ K_(n-1)(u)^(n-1) + K_(n)(u)^n$
Dove n è l'indice della serie e $K_(i)(u)^i$ è la ragione della serie.
Ora a naso io direi che la potenza della serie è n, allo stesso modo direi che la funzione C(u) ha ordine n+1.
Gradirei una vostra opinione, prima di tutto per sapere se quello che ho scritto è corretto, e soprattutto per sapere quale criterio ortodosso attribuisce grado e ordine ad una serie di questo tipo.
Un saluto a tutti!
$C(u) = K_(0) + K_(1)(u) + K_(2)(u)^2 +....+ K_(n-1)(u)^(n-1) + K_(n)(u)^n$
Dove n è l'indice della serie e $K_(i)(u)^i$ è la ragione della serie.
Ora a naso io direi che la potenza della serie è n, allo stesso modo direi che la funzione C(u) ha ordine n+1.
Gradirei una vostra opinione, prima di tutto per sapere se quello che ho scritto è corretto, e soprattutto per sapere quale criterio ortodosso attribuisce grado e ordine ad una serie di questo tipo.
Un saluto a tutti!
Risposte
Grado, ordine, serie... E' una burla, no? Nel caso però che non lo sia... Cosa sono quei simboli? Intendo $C(u)$, $K_i(u)$, etc... Come pensi ti si possa aiutare se prima non chiarisci la natura delle tue misteriche scritture?
Una burla? Noo, non avrei tempo di scrivere su un forum per fare una burla.
C(u) è una funzione parametrica, in cui la variabile u indica il parametro, con $u in RR+$
$K_(i)$ invece può essere per semplicità l'elemento di un insieme di costanti scalari ${K_(0), K_(1), K_(2), ...K_(n)}$. In effetti avevo tralasciato di scrivere la forma:
$C(u) = sum_(i=0)^n K_(i)(u)^i$
Ma ho idea che tutto questo sia irrilevante ai fini del mio dubbio, infatti avrei potuto scrivere una serie come questa:
$f(x) = sum_(i=0)^n a_(i)(x)^i = a_(0) + a_(1)(x) + a_(2)(x)^2 +....+ a_(n-1)(x)^(n-1) + a_(n)(x)^n$
Rimane il fatto che non ho una regola formale che mi permetta di stabilire il grado e l'ordine di questa serie. A voi la parola.
C(u) è una funzione parametrica, in cui la variabile u indica il parametro, con $u in RR+$
$K_(i)$ invece può essere per semplicità l'elemento di un insieme di costanti scalari ${K_(0), K_(1), K_(2), ...K_(n)}$. In effetti avevo tralasciato di scrivere la forma:
$C(u) = sum_(i=0)^n K_(i)(u)^i$
Ma ho idea che tutto questo sia irrilevante ai fini del mio dubbio, infatti avrei potuto scrivere una serie come questa:
$f(x) = sum_(i=0)^n a_(i)(x)^i = a_(0) + a_(1)(x) + a_(2)(x)^2 +....+ a_(n-1)(x)^(n-1) + a_(n)(x)^n$
Rimane il fatto che non ho una regola formale che mi permetta di stabilire il grado e l'ordine di questa serie. A voi la parola.
"PaoloC":
Ma ho idea che tutto questo sia irrilevante ai fini del mio dubbio, infatti avrei potuto scrivere una serie come questa:
$f(x) = sum_(i=0)^n a_(i)(x)^i = a_(0) + a_(1)(x) + a_(2)(x)^2 +....+ a_(n-1)(x)^(n-1) + a_(n)(x)^n$
Rimane il fatto che non ho una regola formale che mi permetta di stabilire il grado e l'ordine di questa serie. A voi la parola.
Se ho capito bene, quella somma è perciò un semplice polinomio a coefficienti reali/complessi in una variabile. Dunque non vedo dove sia il problema di definirne il grado... E poi un appunto: la notazione $a_i(x)^i$ è un tantinello equivoca, visto che in linea di principio potrebbe benissimo far pensare che il termine i-esimo della somma sia esso stesso una funzione della variabile $x$. Molto meglio perciò scriverlo in forma di $a_i x^i$, non ti pare?
"DavidHilbert":
E poi un appunto: la notazione $a_i(x)^i$ è un tantinello equivoca, visto che in linea di principio potrebbe benissimo far pensare che il termine i-esimo della somma sia esso stesso una funzione della variabile $x$. Molto meglio perciò scriverlo in forma di $a_i x^i$, non ti pare?
Giustissimo, avevo fatto un copia-incolla della somma precedente sostituendo soltanto le $a_i$ alle $K_i$ e le $(x)^i$ alle $(u)^i$ dimenticando l'importanza delle parentesi che racchiudono la variabile. In effetti quando ho descritto K come scalare avevo detto "per semplicità" proprio perché si sarebbe trattato di funzioni di base i-esime del parametro u. Allora come giustamente mi fai notare il caso più semplice con coefficienti "a" va scritto:
$f(x) = sum_(i=0)^n a_(i)x^i = a_(0) + a_(1)x + a_(2)x^2 +....+ a_(n-1)x^(n-1) + a_(n)x^n$
"DavidHilbert":
Se ho capito bene, quella somma è perciò un semplice polinomio a coefficienti reali/complessi in una variabile. Dunque non vedo dove sia il problema di definirne il grado...
Forse il problema è più semplice di quanto mi ero immaginato.
Essendo la serie di potenze un caso particolare di polinomio, potrei dire che il grado della f(x) è il numero intero positivo equivalente alla potenza più alta presente nel polinomio. L'ordine della f(x) dovrebbe essere invece il numero degli elementi (monomi) che compongono il polinomio, in tal caso dovrebbe essere k = n + 1 dove con k ho indicato l'ordine, e con n l'indice che nel mio caso coincide con la potenza più elevata.
Ditemi se sbaglio.
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