Ordine di un polo
ciao a tutti ho $f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2-2z-1}$ funzione meromorfa sulla sfera di riemann... mi dite come mai nel punto $oo$ ha un polo di ordine $2$???
nn riesco a capirlo
nn riesco a capirlo
Risposte
"miuemia":
ciao a tutti ho $f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2-2z-1}$ funzione meromorfa sulla sfera di riemann... mi dite come mai nel punto $oo$ ha un polo di ordine $2$???
nn riesco a capirlo
In effetti mi pare strano che abbia un polo...
Per verificare faccio il cambiamento di variabile $z=1/zeta$ (che porta $z=oo$ in $zeta=0$) e studia il comportamento di $g(zeta)=f(1/zeta)$ in $zeta=0$: trovo:
$g(zeta)=(1/zeta^2-2/zeta+1)/(1/zeta^2-2/zeta-1)=(zeta^2-2zeta+1)/(-zeta^2-2zeta+1)$
e $lim_(zeta to 0)g(zeta)=1$ quindi $zeta=0$ è un punto regolare per $g$.
Ne consegue che $oo$ è regolare per $f$ (tra l'altro lo si poteva pure verificare direttamente perchè risulta $f(z)=1+2/(z^2-2z-1)$ e quindi $lim_(z to oo) f(z)=1$).
Si vede facilmente che $f$ ha due singolarità polari, entrambe di ordine uno, nei punti $z=1 pm sqrt2$; quindi $f$ è meromorfa in tutto il campo complesso.
si questo ok... ti spiego perchè devo trovare i punti dove $f$ ramifica...e io so che li devo cercare questi punti tra i poli di $f$ ma in questo caso ho poli semplici e quindi nn mi danno contributi e tra gli zeri del differenziale di $f$ e a me viene derivando che
$df=\frac{-2(2z-2)}{(z^2-2z-1)^2}$ e quindi i suoi zeri sono $z=1$ e anche $oo$ giusto?? e l'ordine di $oo$ come zero di $df$ è 2 in quanto faccio sempre la sostituzione $z->1/\xi$????
$df=\frac{-2(2z-2)}{(z^2-2z-1)^2}$ e quindi i suoi zeri sono $z=1$ e anche $oo$ giusto?? e l'ordine di $oo$ come zero di $df$ è 2 in quanto faccio sempre la sostituzione $z->1/\xi$????
"miuemia":
si questo ok... ti spiego perchè devo trovare i punti dove $f$ ramifica...e io so che li devo cercare questi punti tra i poli di $f$ ma in questo caso ho poli semplici e quindi nn mi danno contributi e tra gli zeri del differenziale di $f$ e a me viene derivando che
$df=\frac{-2(2z-2)}{(z^2-2z-1)^2}$ e quindi i suoi zeri sono $z=1$ e anche $oo$ giusto?? e l'ordine di $oo$ come zero di $df$ è 2 in quanto faccio sempre la sostituzione $z->1/\xi$????
Mi pare che $f'$ abbia uno zero d'ordine tre in $oo$... controlla meglio.
Però potevi dirlo prima che cercavi l'ordine degli zeri di $f'$.
si si è 3...grazie
scusa ma ho un altro dubbio su questo esercizio data $f(z)=\frac{1}{4z^3+9z^2-12z+136}$ come funzione dalla sfera di riemann in sè... mi si dice di trovare il grado del divisore di ramificazione.
adesso io so che devo trovare i punti di ramificazione tra i poli di $f$ e gli zeri di $df$.
ora ho che i poli di $f$ sono semplici ed è facile vedere questo.
quindi cerco tra gli zeri di $df$ mi viene che
$df=\frac{-12z^2-18z+12}{(4z^3+9z^2-12z+136)^2}$ e quindi ho che si annulla per $z=-2,1/2$ ma ho anche che $oo$ è uno zero di ordine $3$ per $df$ giusto??? quindi l'indice di ramificazione per $-2,1/2$ è $2$ in quanto è uguale alla molteplicità di $-2,1/2$ come zeri di $df$ più 1... e avrei quindi che per $oo$ l'indice è $4=3+1$ invece nelle soluzioni mi porta che l'indice di $oo$ è 3... non capisco perchè.
adesso io so che devo trovare i punti di ramificazione tra i poli di $f$ e gli zeri di $df$.
ora ho che i poli di $f$ sono semplici ed è facile vedere questo.
quindi cerco tra gli zeri di $df$ mi viene che
$df=\frac{-12z^2-18z+12}{(4z^3+9z^2-12z+136)^2}$ e quindi ho che si annulla per $z=-2,1/2$ ma ho anche che $oo$ è uno zero di ordine $3$ per $df$ giusto??? quindi l'indice di ramificazione per $-2,1/2$ è $2$ in quanto è uguale alla molteplicità di $-2,1/2$ come zeri di $df$ più 1... e avrei quindi che per $oo$ l'indice è $4=3+1$ invece nelle soluzioni mi porta che l'indice di $oo$ è 3... non capisco perchè.
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