Ordine di un infinitesimo con sviluppi di Taylor

[ardimentoso66]

L'esercizio proposto è il seguente:
Determinare mediante gli sviluppi di Taylor l'ordine di infinitesimo nel punto x=0 della funzione:

$f(x)=xln(1+x^2)+e^(x^2) - 1$

Sviluppando con Taylor mi viene:

$f(x)= x(x^2-(1/2)x^4+(1/3)x^6+o(x^6))+1+x^2+(1/2)x^4+(1/6)x^6 +o(x^6)-1$.

Quello che non ho ancora afferrato è "quando" fermarsi con lo sviluppo (arbitrariamente mi sono fermato a 3) e con quale criterio sopprimere gli addendi "trascurabili".
Grazie

Ardimentoso66

[Seneca1]

$log( 1 + x^2 ) = x^2 - x^4/2 + x^6/3 + o(x^6)$


$e^(x^2) = 1 + x^2 + x^4/2 + x^6/6 + o(x^6)$

Quindi:

$f(x) = x^3 - x^5/2 + o(x^5) + x^2 + x^4/2 + o(x^5)$

$f(x) = x^2 + x^3 + x^4/2 - x^5/2 + o(x^5) $

Si conclude che: $"ord"_0 [ xln(1+x^2)+e^(x^2) - 1 ] = "ord"_0 ( x^2 ) $

In sostanza il problema è il seguente. Se tronchi troppo presto lo sviluppo di Taylor, rischi di non pervenire ad un risultato. Al contrario, più alto è il grado del polinomio approssimante, maggiore dovrebbe essere l'approssimazione della funzione e di conseguenza minore sarà l'errore che commetti scambiando la funzione con il suo sviluppo di Taylor.

E' una cosa che stabilisci a posteriori. A priori è difficile dirlo.

[enr87]

Seneca, in realtà quello che dici non è corretto, nel senso che vale solo se devi calcolare dei limiti (in questo caso la consegna era diversa): era sufficiente calcolare il primo termine dei relativi sviluppi per capire che l'ordine di infinitesimo era 2 (tutti gli altri infinitesimi sono di ordine maggiore di 2, quindi non ha senso proseguire)

[Seneca1]

"ardimentoso66":
$f(x)=xln(1+x^2)+e^(x^2) - 1$

$f(x)=xln(1+x^2)+e^(x^2) - 1$

Mi viene in mente un'altra strada molto più immediata di Taylor.

L'infinitesimo $ln(1+x^2)$ è di ordine $2$. L'infinitesimo $alpha(x) = x * ln(1+x^2)$ è di ordine $1 + 2 = 3$.

$beta(x) = e^(x^2) - 1$ è di ordine $2$.

L'ordine di $f(x) = alpha(x) + beta(x)$ è dello stesso ordine di $beta$.

[Seneca1]

"enr87":era sufficiente calcolare il primo termine dei relativi sviluppi per capire che l'ordine di infinitesimo era 2

Prendi ad esempio l'infinitesimo $ x - sin(x) $. Determiniamo l'ordine di infinitesimo con Taylor.

Se è giusto quello che asserisci tu, allora dovremmo scoprire l'ordine di infinitesimo prendendo in considerazione solo il primo termine dello sviluppo del seno: $x$. Bene, quindi cosa otteniamo? Scopriamo solo che è $o(x)$.

"enr87":Seneca, in realtà quello che dici non è corretto, nel senso che vale solo se devi calcolare dei limiti (in questo caso la consegna era diversa)

Il problema che stavo risolvendo io era quello di trovare $k$ affinché $x^k$ sia dello stesso ordine di infinitesimo di $x ln( 1 + x^2 ) + e^(x^2) - 1$.

L'ordine dell'infinitesimo è $k$ se $"ord" (x^k) = "ord" (x ln( 1 + x^2 ) + e^(x^2) - 1)$

Per determinare $k$ era implicitamente necessario risolvere un limite:

$lim_(x->0) [x ln( 1 + x^2 ) + e^(x^2) - 1]/x^k = L ( != 0)$

$ = lim_(x->0) [ x^2 + x^3 + x^4/2 + o(x^4)]/x^k = L ( != 0)$

$k = 2$

Quindi non capisco cosa tu intenda quando scrivi che il procedimento di cui sopra va bene solo quando si deve calcolare un limite.

"enr87":(tutti gli altri infinitesimi sono di ordine maggiore di 2, quindi non ha senso proseguire)

Non ha senso, siamo d'accordo, se ti accorgi che lo sviluppo di Taylor arrestato ad un certo punto è "sufficientemente esaustivo" per quel che riguarda il tuo problema; ma non è mica scorretto.

[miuemia]

"Seneca":$log( 1 + x^2 ) = x^2 - x^4/2 + x^6/3 + o(x^6)$


$e^(x^2) = 1 + x^2 + x^4/2 + x^6/6 + o(x^6)$

Quindi:

$f(x) = x^3 - x^5/2 + o(x^5) + x^2 + x^4/2 + o(x^5)$

$f(x) = x^2 + x^3 + x^4/2 - x^5/2 + o(x^5) $

non capisco dove è andato a finire $o(x^6)$!

[ardimentoso66]

Ho editato il post: nel digitare avevo scritto gli o piccoli di $x^3$ invece di $x^6$. OK
Con le considerazioni fatte mi trovo pure io che l'ordine è 2 perché semplificando, il grado più piccolo della x è proprio 2, giusto?
Ma mi resta il problema delle iterazioni dello sviluppo; dove arrestarmi? Non c'è un criterio a cui far capo?
Scusatemi per le inesattezze ma sono autodidatta.
Ardimentoso66

[enr87]

@ardimentoso
l'ordine di infinitesimo è 2, perchè tutti gli altri termini sono trascurabili rispetto a x^2. quello che fai in pratica è prendere in considerazione la "parte più grande" di quello che hai, e trascurare il resto. per l'arresto dello sviluppo, segui il consiglio di seneca (puoi pensare ad esempio di trovare i primi 3 termini di ogni funzione) e poi vedi quali si elidono e quali restano (ovviamente se non sono sufficienti devi continuare). un criterio non c'è, devi usare buon senso.

@Seneca
è vero che non ho detto correttamente che basta fermarsi al primo termine, il tuo controesempio è chiaro (ho generalizzato e non dovevo). però non è neanche necessario trovare termini inutilmente: nel tuo esempio la x si elimina, allora questo mi suggerisce che è sufficiente trovare il secondo termine del seno, e non andare fino al terzo per esempio.. è solo un modo più economico di risolvere il problema, nient'altro.
inoltre, implicitamente fai un limite, però intuitivamente basta vedere qual è il termine di grado più piccolo: quello determina l'ordine di infinitesimo, essendo il termine maggiore del polinomio che esce.

[Seneca1]

"miuemia":[quote="Seneca"]$log( 1 + x^2 ) = x^2 - x^4/2 + x^6/3 + o(x^6)$


$e^(x^2) = 1 + x^2 + x^4/2 + x^6/6 + o(x^6)$

Quindi:

$f(x) = x^3 - x^5/2 + o(x^5) + x^2 + x^4/2 + o(x^5)$

$f(x) = x^2 + x^3 + x^4/2 - x^5/2 + o(x^5) $

non capisco dove è andato a finire $o(x^6)$![/quote]


Naturalmente $x^6/(3!) + o(x^6)$ è $o(x^5)$ . Sei d'accordo? Per verificarlo basta osservare che:

$lim_( x -> 0 ) [ x^6/6 + "o"(x^6) ]/x^5 = $


$lim_( x -> 0 ) x + ("o"(x^6) )/x^5 = 0$

[miuemia]

si si! ho capito! grazie

[Seneca1]

Di niente..

[ardimentoso66]

OK.

Quindi ho trovato che $lim x->0 (xln(1+x^2)+e^(x^2)-1)/x^2 = 1$. E' giusto?

Adesso provo a fare qualche altro esercizio e vedo come prosegue. Eventualmente mi rifaccio vivo.
Grazie ancora per i preziosi chiarimenti.
Ardimentoso66