Ordine di un infinitesimo!
Salve a tutti.
Avrei un dubbio, quando viene chiesto di trovare l'ordine di infinitesimo di una funzione in un punto, è sufficiente costruirsi lo sviluppo in quel punto della suddetta funzione e osservare il grado del primo termine?
Esempio:
L'ordine di infinitesimo della funzione $ logx $ per $ x->1 $
Io mi sono calcolato lo sviluppo con la formula di Taylor, e mi viene:
$ -3/2+2x-(1/2)x^2+o(x^2) $
Devo concludere che l'ordine di infinitesimo è ....?
Avrei un dubbio, quando viene chiesto di trovare l'ordine di infinitesimo di una funzione in un punto, è sufficiente costruirsi lo sviluppo in quel punto della suddetta funzione e osservare il grado del primo termine?
Esempio:
L'ordine di infinitesimo della funzione $ logx $ per $ x->1 $
Io mi sono calcolato lo sviluppo con la formula di Taylor, e mi viene:
$ -3/2+2x-(1/2)x^2+o(x^2) $
Devo concludere che l'ordine di infinitesimo è ....?
Risposte
Benedette definizioni che non imparate! Sai qual'è la definizione di ordine di infinitesimo? Se sì, ti rispondi da solo.
P.S.: in ogni caso lo sviluppo di Taylor (arrestato al secondo ordine) $\log x$ per $x\to 1$ non è quello che hai scritto ma questo: [tex]$\log x=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)[/tex]. Se lo scrivi come hai fatto tu, non capirai mai quale sia l'ordine di infinitesimo nel punto $x_0=1$.
P.S.: in ogni caso lo sviluppo di Taylor (arrestato al secondo ordine) $\log x$ per $x\to 1$ non è quello che hai scritto ma questo: [tex]$\log x=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)[/tex]. Se lo scrivi come hai fatto tu, non capirai mai quale sia l'ordine di infinitesimo nel punto $x_0=1$.
"ciampax":
Benedette definizioni che non imparate! Sai qual'è la definizione di ordine di infinitesimo? Se sì, ti rispondi da solo.
P.S.: in ogni caso lo sviluppo di Taylor (arrestato al secondo ordine) $\log x$ per $x\to 1$ non è quello che hai scritto ma questo: [tex]$\log x=(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+o((x-1)^2)[/tex]. Se lo scrivi come hai fatto tu, non capirai mai quale sia l'ordine di infinitesimo nel punto $x_0=1$.
Ah, è perchè poi l'ho risolta credendo di dover svolgere i quadrati. Cmq allora l'ordine di infinitesimo è 1 perchè il primo termine è di grado 1 ?
La definizione la conosco ma non mi è chiarissimo il perchè si prenda il primo termine dello sviluppo. Cioè, so che sviluppando con Taylor si ottiene una funzione che con inifniti termine tende alla funzione di partenza, e che il primo termine è il più significativo, ma per vedere qual è il suo grado non dovrei fare $ lim_(x->1) ((x-1)+((x-1)^2)/2+o((x-1)^2))/x^a $ e vedere per quale valore di $ a $ ho un risultato finito?
Definizione: sia $\lim_{x\to x_0} f(x)=0$, con $x_0\ne\infty$. Diciamo che $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $\alpha>0$ se $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha}=\ell\ne 0,\infty$.
Ora se prendi $\beta>\alpha$, si avrebbe [tex]$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\beta}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha}\cdot\frac{1}{(x-x_0)^{\beta-\alpha}}=\ell\cdot\infty=\infty$[/tex]
e quindi una potenza maggiore non va bene. Allo stesso modo se scegli $0<\beta<\alpha$. (in quel caso viene limite pari a zero).
Ora se prendi $\beta>\alpha$, si avrebbe [tex]$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\beta}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{(x-x_0)^\alpha}\cdot\frac{1}{(x-x_0)^{\beta-\alpha}}=\ell\cdot\infty=\infty$[/tex]
e quindi una potenza maggiore non va bene. Allo stesso modo se scegli $0<\beta<\alpha$. (in quel caso viene limite pari a zero).
Sì ok, grazie. Ma non ho ancora capito, perchè dovrei prendere il grado del primo termine dello sviluppo, e quello è l'ordine di infinitesimo?
......sì! (Profonda tristezza!)
"ciampax":
......sì! (Profonda tristezza!)
In verità ti ho chiesto il perchè xD
Te l'ho già spiegato prima. Riflettici su!
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