Ordine di un infinitesimo.
Ciao a tutti,
sto risolvendo alcuni esercizi di Analisi matematica e mi trovo in "difficoltà" nel confronto degli infinitesimi.
Ho quest'esercizio:
Date le funzioni:
$f(x)= x^2(e^sin(x/2)-cos(sqrt(x))) + sqrt(x)log(1+x+x^2) + sin (4x^4)$
$g(x)=xtan(2x^2-x^4)$
determinare l'ordine infinitesimo rispetto a $g(x)$ per $x->0^+$
Innanzi tutto so che la funzione $f(x)$ è somma di tre infinitesimi per $x->0^+$.
1)$sin (4x^4)$ rispetto a $x$ è 4, in virtù del limite notevole.
Mentre per $sqrt(x)log(1+x+x^2) $ ho qualche problema.
Per prima cosa scrivo $lim_(x->0^+) sqrt(x)log(1+x+x^2)*1/x^\alpha $
poi sò che il limite notevole vale $lim_(x->0^+)(log(1+x)/x)=1$
ma $\alpha$ come lo determino?
sto risolvendo alcuni esercizi di Analisi matematica e mi trovo in "difficoltà" nel confronto degli infinitesimi.
Ho quest'esercizio:
Date le funzioni:
$f(x)= x^2(e^sin(x/2)-cos(sqrt(x))) + sqrt(x)log(1+x+x^2) + sin (4x^4)$
$g(x)=xtan(2x^2-x^4)$
determinare l'ordine infinitesimo rispetto a $g(x)$ per $x->0^+$
Innanzi tutto so che la funzione $f(x)$ è somma di tre infinitesimi per $x->0^+$.
1)$sin (4x^4)$ rispetto a $x$ è 4, in virtù del limite notevole.
Mentre per $sqrt(x)log(1+x+x^2) $ ho qualche problema.
Per prima cosa scrivo $lim_(x->0^+) sqrt(x)log(1+x+x^2)*1/x^\alpha $
poi sò che il limite notevole vale $lim_(x->0^+)(log(1+x)/x)=1$
ma $\alpha$ come lo determino?
Risposte
Sempre usando il limite notevole
$$\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1$$
puoi dedurre che
$$\sqrt{x}\log(1+x+x^2)\sim \sqrt{x}(x+x^2)\sim \sqrt{x}\cdot x=x^{3/2}$$.
$$\lim_{t\to 0}\frac{\log(1+t)}{t}=1$$
puoi dedurre che
$$\sqrt{x}\log(1+x+x^2)\sim \sqrt{x}(x+x^2)\sim \sqrt{x}\cdot x=x^{3/2}$$.
Scusa ma non riesco a capire. Potresti essere più chiaro. 
Cosa non ti è chiaro?
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