Ordine di infinito

[booleandomain]

Come si fa a dimostrare, ad esempio, che $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^a}{e^x}=0$ oppure che $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\log(x)}{x^a}=0$ (con $a\in(0,+\infty)$)? Sul libro di testo non ho trovato nulla...

Grazie.

[adaBTTLS1]

sono tipici esempi di applicazione di de l'Hopital.
prova a scrivere qualcosa, ed eventualmente ti correggeremo. ciao.

[booleandomain]

Si vede che non ho ancora fatto de l'Hospital?

Ad ogni modo dovrebbe essere ad esempio che $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2}{e^x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2x}{e^x}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2}{e^x}=0$.

[adaBTTLS1]

sì, e così per altri esponenti interi. vale però anche per esponenti reali.

[K.Lomax]

Prova a risolverli anche senza de l'Hopital (io lo utilizzerei solo in casi estremi). Ad esempio, per il primo:

$\lim_(x->+\infty)\frac{x^a}{e^x}=\lim_(x->+\infty)\frac{e^(alnx)}{e^x}=\lim_(x->+\infty)\frac{1}{e^(x-alnx)}=0$

$AA ain[0,+\infty)$

[booleandomain]

@K.Lomax

Con il tuo metodo, però, si ripropone un altro caso di indecisione, che riguarda questa volta una potenza ed un logaritmo ($x-a\log(x)$)...

[K.Lomax]

E' vero che quel limite è $+\infty-\infty$, ma non è una indecisione è $+\infty$. Volendo, tra l'altro, si potrebbe dimostrare il secondo limite proposto e poi notando che il primo si può scrivere nella forma

$\lim_(x->+\infty)\frac{1}{e^(x(1-a\frac{lnx}{x}))}$

si ottiene anche questo.