Ordine di infinito
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Determinare l’ordine di infinito rispetto all'infinito campione $ϕ(x) = x$, per $ x →+∞$, di
$f(x) = x-sqrt(x^2+x^4)$
Dovrei utilizzare gli sviluppi di Taylor per arrivare al risultato? non mi è ben chiaro lo svolgimento... un aiuto?
(non chiedo la risoluzione, solo qualche suggerimento
)
Determinare l’ordine di infinito rispetto all'infinito campione $ϕ(x) = x$, per $ x →+∞$, di
$f(x) = x-sqrt(x^2+x^4)$
Dovrei utilizzare gli sviluppi di Taylor per arrivare al risultato? non mi è ben chiaro lo svolgimento... un aiuto?
(non chiedo la risoluzione, solo qualche suggerimento
)
Risposte
Riscrivilo così:
$f(x)=(x-sqrt(x^2+x^4))/1=(x-sqrt(x^2+x^4))*(x+sqrt(x^2+x^4))/(x+sqrt(x^2+x^4))$
e poi applichi il prodotto notevole: $(A-B)*(A+B)=A^2-B^2$
a quel punto con gli asintotici trovi le funzioni equivalenti, in maniera che si abbia:
$lim_(x->+infty)[(f(x))/(K*x^(\alpha))]=1$
Alla fine dovrebbe venirti:
$K=-1$
$\alpha=2$
$f(x)=(x-sqrt(x^2+x^4))/1=(x-sqrt(x^2+x^4))*(x+sqrt(x^2+x^4))/(x+sqrt(x^2+x^4))$
e poi applichi il prodotto notevole: $(A-B)*(A+B)=A^2-B^2$
a quel punto con gli asintotici trovi le funzioni equivalenti, in maniera che si abbia:
$lim_(x->+infty)[(f(x))/(K*x^(\alpha))]=1$
Alla fine dovrebbe venirti:
$K=-1$
$\alpha=2$
"Fugo":
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Determinare l’ordine di infinito rispetto all'infinito campione $ϕ(x) = x$, per $ x →+∞$, di
$f(x) = x-sqrt(x^2+x^4)$
Dovrei utilizzare gli sviluppi di Taylor per arrivare al risultato? non mi è ben chiaro lo svolgimento... un aiuto?
(non chiedo la risoluzione, solo qualche suggerimento
Raccogli $x^4$ dentro la radice, così ti trovi una roba del tipo $x^2*sqrt(1+1/x^2)$ e puoi sviluppare la radice perché $1/x^2->0$ per $x->+oo$
"SirDanielFortesque":
Riscrivilo così:
$f(x)=(x-sqrt(x^2+x^4))/1=(x-sqrt(x^2+x^4))*(x+sqrt(x^2+x^4))/(x+sqrt(x^2+x^4))$
e poi applichi il prodotto notevole: $(A-B)*(A+B)=A^2-B^2$
a quel punto con gli asintotici trovi le funzioni equivalenti, in maniera che si abbia:
$lim_(x->+infty)[(f(x))/(K*x^(\alpha))]=1$
Alla fine dovrebbe venirti:
$K=-1$
$\alpha=2$
ciao, ci tengo a scusarmi per il ritardo...
comunque seguendo il tuo consiglio mi è venuto fuori che $f(x) ~ -x^2 $
ma non mi è chiaro da dove hai ricavato questo limite:
$lim_(x->+infty)[(f(x))/(K*x^(\alpha))]=1$
se faccio
$lim_(x->+infty)[(-x^2)/(K*x^(\alpha))]=1$ effettivamente $alpha$ deve essere uguale a 2, mentre $K=-1 $ ma non mi è chiaro come ci sei arrivato.
$ f(x)=(x-sqrt(x^2+x^4))/1=(x-sqrt(x^2+x^4))*(x+sqrt(x^2+x^4))/(x+sqrt(x^2+x^4)) $
Fino qua dovresti esserci arrivato ok?
applichi il prodotto notevole che ti ho già scritto, bene:
$f(x)=(x^2-x^2-x^4)/(x+sqrt(x^2+x^4))=-x^4/(x+sqrt(x^2+x^4))$
A questo punto ti accorgi che
$lim_(x->+infty)[(x+sqrt(x^2+x^4))/x^2]=1$
e anche qui il motivo dovrebbe essere ovvio, insomma se $sqrt(x^2+x^4)$ è equivalente a $x^2$ per $x->+infty$, è altrettanto ovvio che $x+x^2$ sarà equivalente a $x^2$, sempre perché $x^2$ è un ordine di infinito più alto di $x$, e quindi $x$ è trascurabile.
A questo punto hai che
$f(x)=(-x^4)/(x+sqrt(x^2+x^4))$ che è a sua volta equivalente a $-x^4/(x^2)=-x^2$ per $x->+infty$
A questo punto il gioco è fatto:
$lim_(x->+infty)f(x)/(K*x^(\alpha))=lim_(x->+infty)(-x^2)/(Kx^\alpha)=1 <=>K=-1, \alpha=2$
Se non capisci questo metodo prova con il metodo di Obi, con Taylor è più meccanico e va bene sempre, in quanto questo tipo di razionalizzazione non è sempre applicabile, ma solo in questi casi particolari (che pure sono quelli più frequentemente oggetto d'esame).
Fino qua dovresti esserci arrivato ok?
applichi il prodotto notevole che ti ho già scritto, bene:
$f(x)=(x^2-x^2-x^4)/(x+sqrt(x^2+x^4))=-x^4/(x+sqrt(x^2+x^4))$
A questo punto ti accorgi che
$lim_(x->+infty)[(x+sqrt(x^2+x^4))/x^2]=1$
e anche qui il motivo dovrebbe essere ovvio, insomma se $sqrt(x^2+x^4)$ è equivalente a $x^2$ per $x->+infty$, è altrettanto ovvio che $x+x^2$ sarà equivalente a $x^2$, sempre perché $x^2$ è un ordine di infinito più alto di $x$, e quindi $x$ è trascurabile.
A questo punto hai che
$f(x)=(-x^4)/(x+sqrt(x^2+x^4))$ che è a sua volta equivalente a $-x^4/(x^2)=-x^2$ per $x->+infty$
A questo punto il gioco è fatto:
$lim_(x->+infty)f(x)/(K*x^(\alpha))=lim_(x->+infty)(-x^2)/(Kx^\alpha)=1 <=>K=-1, \alpha=2$
Se non capisci questo metodo prova con il metodo di Obi, con Taylor è più meccanico e va bene sempre, in quanto questo tipo di razionalizzazione non è sempre applicabile, ma solo in questi casi particolari (che pure sono quelli più frequentemente oggetto d'esame).
non mi è chiaro dove tu abbia preso:
$lim_(x->+infty)f(x)/(K*x^(\alpha))=1$
come mai hai diviso$ f(x)$ per $K*x^alpha$?
magari è una domanda stupida, ma non riesco proprio a capire...
$lim_(x->+infty)f(x)/(K*x^(\alpha))=1$
come mai hai diviso$ f(x)$ per $K*x^alpha$?
magari è una domanda stupida, ma non riesco proprio a capire...
Non è una domanda stupida.
Se l'infinito campione è $x$, allora l'ordine di infinito e la parte principale dell'infinito generico $f(x)$ saranno rispettivamente $\alpha$ e $Kx^(\alpha)$ tali che sia verificata:
$lim_(x->+infty)[f(x)/(K*x^(\alpha))]=1$
A te interessava solo trovare quel numero $\alpha$, tale che:
$lim_(x->+infty)f(x)/(x^(\alpha))=K!=0, +-infty$
è la definizione di infiniti equivalenti.
Se l'infinito campione è $x$, allora l'ordine di infinito e la parte principale dell'infinito generico $f(x)$ saranno rispettivamente $\alpha$ e $Kx^(\alpha)$ tali che sia verificata:
$lim_(x->+infty)[f(x)/(K*x^(\alpha))]=1$
A te interessava solo trovare quel numero $\alpha$, tale che:
$lim_(x->+infty)f(x)/(x^(\alpha))=K!=0, +-infty$
è la definizione di infiniti equivalenti.
Se per esempio l'infinito campione fosse stato $1/x$ allora dovevo fare:
$lim_(x->+infty)f(x)/(K*(1/x)^(\alpha))=1$ ?
$lim_(x->+infty)f(x)/(K*(1/x)^(\alpha))=1$ ?
Ma $(1/x)$ non è un infinito campione per $x->+infty$.
$1/x$ è un infinito campione per $x->0$;
l'infinito campione per $x->x_0$, $x_0 in RR$ in genere è $1/(x-x_0)$;
l'infinito campione per $x->+-infty$ è in genere $x$;, che è anche l'infinitesimo campione per $x->0$.
parimenti, l'infinitesimo campione per $x->x_0$ è $(x-x_0)$.
$1/x$ è un infinito campione per $x->0$;
l'infinito campione per $x->x_0$, $x_0 in RR$ in genere è $1/(x-x_0)$;
l'infinito campione per $x->+-infty$ è in genere $x$;, che è anche l'infinitesimo campione per $x->0$.
parimenti, l'infinitesimo campione per $x->x_0$ è $(x-x_0)$.
ahhh, ora ho capito, avevo una confusione in testa haha grazie mille SirDaniel
Bene, ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo