Ordine di infinitesimo...ci ho preso?

[iMax21]

Salve a tutti,
mi servirebbe giusto un "ok è giusto" per essere tranquillo e sicuro che il seguente esercizio che ho svolto sia giusto...sempre che lo sia

Determinare ordine di infinitesimo e parte principale per $x->infty$ della funzione:
$f(x) = x^2*sqrt(e^(1/x^5)-1)$

imposto quindi $lim_{x \to \infty} (x^2*sqrt(e^(1/x^5)-1))/x^alpha$ cercando un valore di $alpha$ per cui questo limite sia $!=0$
riscrivo $e^(1/x^5)$ come $1+(1/x^5)$ sfruttando i polinomi di McLaurin al secondo ordine, per cui:
$lim_{x \to \infty}(x^2*sqrt(1+(1/x^5)-1))/x^alpha = lim_{x \to \infty} x^(-1/2)/x^alpha$ da cui deduco che:
ordine è $ -1/2$ con parte principale uguale a $1/sqrt(x)$

corretto?

[Emar1]

Attenzione che $x^a$ non è infinitesimo per $x \to \infty$!

[iMax21]

uhm vero....come imposto quindi la formula generale? posso mettere al posto di $x^alpha$ qualcosa tipo $1/x^alpha$ ?

[Emar1]

Si!

[iMax21]

grazie mille!! i risultati sono giusti? ordine $1/2$ e parte principale sempre $1/sqrt(x)$

[Emar1]

Mi sembra giusto!

[Sk_Anonymous]

E' scorretto fare:
$ ~~ $ $ x^2 * (1/(x^5))^(1/2) = (1/x)^(1/2) = 1/(x)^(1/2) $
E da qui dire che l'ordine è $ 1 /2 $ (dato che ottengo $ (1/x)^(1/2) $) ?

[Emar1]

E' giusto!

[Sk_Anonymous]

Perfetto, grazie mille!