Ordine di infinitesimo integrale

[polveregoz]

Buonasera a tutti, vorrei calcolare l'ordine di infinitesimo (o la successione a cui è asintotico) del seguente integrale per $ n rarr oo $ di

$ int_(n^2) ^ (n^2 + 9/n) 1/(1+y^n) dy $

Ho provato a fare un po' di conti usando una procedure un po' brutale e mi sono ritrovato a calcolare l'ordine di infinitesimo di

$ e^(-(1-n)log(n)) ( e^((1-n)log(n^3 + 9)) - e^((1-n)log(n^3))) $ ma anche di questo non ho idea di come calcolare l'ordine di infinitesimo, o perlomeno a cosa è asintotico!

Mi serve per vedere se una serie converge!

[gugo82]

La funzione integranda è decrescente in $[0,+oo[$, dunque detto $I_n$ il tuo integrale, hai:
\[
\frac{1}{1+(n^2 + 9/n)^n}\ \frac{9}{n} \leq I_n \leq \frac{1}{1+n^{2n}}\ \frac{9}{n}
\]
e di qui mi pare si possa concludere facile.

[anto_zoolander]

- la successione di funzioni è decrescente per $ygeq0$
- la funzione è positiva

$0leqint_(n^2)^(n^2+9/n)1/(1+y^n)dyleqint_(n^2)^(n^2+9/n)1/(1+n^(2n))dy=9/(n(1+n^(2n)))->0$

edit: ops.. Gugo mi ha preceduto

[polveregoz]

Grazie mille non ci avevo proprio pensato!