Ordine di infinitesimo e parteprincipale con Taylor
Sto cercando di svolgere un altro esercizio simile al precedente, tuttavia con Taylor continuo a fare errori e non capisco bene come si usi.
Ad esempio in uqesto esercizio si chiede di determinare l'ordine di infinitesimo e la parte principale per x->0 di
$f(x)=sin(1-cos(sqrtx))-x/2+1/4log(1+x^2/6)$
Vi posto lo svolgimento iniziale perché vorrei capire dove risieda l'errore:
Inizio con $sin(1-cos(sqrtx))$ e ho notato essere sia $cos(y)$ che $sin(t)$ rispettivamente di y=0 se x valutata in zero e t=0 se x è in zero (infatti 1-cos(0)=0)
Ho quindi sviluppato
a) $cosy=1-y^2/2+y^4/24+o(y^4)$ ho ripristinato x -> $1-x/2+x^2/24+o(x^2)$
b) $sin(t)=t-t^3/6+o(t^3)$
Riassemblando:
$sin(1-cos(sqrtx))=x/2-x^2/24+o(x^2)-(x/2-x^2/24+o(x^2))^3/6$
Ho provato poi a svolgere il cubo ma non mi viene, eppure come concetto mi pare giusto.
Non riesco ad uscirne
Ad esempio in uqesto esercizio si chiede di determinare l'ordine di infinitesimo e la parte principale per x->0 di
$f(x)=sin(1-cos(sqrtx))-x/2+1/4log(1+x^2/6)$
Vi posto lo svolgimento iniziale perché vorrei capire dove risieda l'errore:
Inizio con $sin(1-cos(sqrtx))$ e ho notato essere sia $cos(y)$ che $sin(t)$ rispettivamente di y=0 se x valutata in zero e t=0 se x è in zero (infatti 1-cos(0)=0)
Ho quindi sviluppato
a) $cosy=1-y^2/2+y^4/24+o(y^4)$ ho ripristinato x -> $1-x/2+x^2/24+o(x^2)$
b) $sin(t)=t-t^3/6+o(t^3)$
Riassemblando:
$sin(1-cos(sqrtx))=x/2-x^2/24+o(x^2)-(x/2-x^2/24+o(x^2))^3/6$
Ho provato poi a svolgere il cubo ma non mi viene, eppure come concetto mi pare giusto.
Non riesco ad uscirne
Risposte
Purtroppo mi sa che dovrai aumentare l'ordine dello sviluppo del coseno perché quello che hai determinato è insufficiente. Se ci fai caso, nel momento in cui ripristini $x$, l'ordine passa da 4 (quello dello sviluppo in $y$) a 2 (quello dello sviluppo in $x$).
Devi arrivare fino all'ordine sei del coseno di $y$, almeno.
Nota per il futuro: con un po' di esperienza comprenderai che quel cubo non va nemmeno sviluppato perché inglobabile nell'o-piccolo di $x^2$.
Devi arrivare fino all'ordine sei del coseno di $y$, almeno.
Nota per il futuro: con un po' di esperienza comprenderai che quel cubo non va nemmeno sviluppato perché inglobabile nell'o-piccolo di $x^2$.
Grazie per il suggerimento, ci provo subito.
Re:nota.
Non avevo pensato di non svilupparlo, in effetti sarebbe un bel lavoro calcolotico in meno.
Re:nota.
Non avevo pensato di non svilupparlo, in effetti sarebbe un bel lavoro calcolotico in meno.
Allora ci ho appena riprovato, ma credo di compiere ancora qualche errore sebbene mi stia avvicinando
Ho seguito il tuo consiglio sviluppando cosy al 6 che diventa poi in x al 3
Ho sviluppato meno sint, fino al primo $sint=t+o(t)$
Per il logaritmo ho sviluppato fino al 4, anche se poi mi sembra superfluo (vedi nel seguito)
$log(1+x^2/6)=x^2/6-x^4/72+o(x^4)$
E riassemblando il tutto:
$(1-1-x/2+x^2/24-x^3/720+o(x^3))+o(x^3)-x/2+1/4(x^2/6-x^4/72)+o(x^4)=x^3/720-x^4/288+o(x^4)$
Qundi direi parte principale $x^3/720$ e ordine $3$?!
Purtroppo non ho i risultati,ma su wolfram mi sembra dare un risultato divero.
Eppure ora mi pare proprio di non aver fatto errori.
Tu cosa ne pensi?
Grazie
Ho seguito il tuo consiglio sviluppando cosy al 6 che diventa poi in x al 3
Ho sviluppato meno sint, fino al primo $sint=t+o(t)$
Per il logaritmo ho sviluppato fino al 4, anche se poi mi sembra superfluo (vedi nel seguito)
$log(1+x^2/6)=x^2/6-x^4/72+o(x^4)$
E riassemblando il tutto:
$(1-1-x/2+x^2/24-x^3/720+o(x^3))+o(x^3)-x/2+1/4(x^2/6-x^4/72)+o(x^4)=x^3/720-x^4/288+o(x^4)$
Qundi direi parte principale $x^3/720$ e ordine $3$?!
Purtroppo non ho i risultati,ma su wolfram mi sembra dare un risultato divero.
Eppure ora mi pare proprio di non aver fatto errori.
Tu cosa ne pensi?
Grazie
Il ragionamento è corretto, però hai abbassato impunemente l'ordine di sviluppo del seno... perché? 
Questo ha fatto sì che perdessi per strada un monomio di 3° grado che scaturisce dallo sviluppo della composta
$\cos(\sqrt{x})=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}-\frac{x^3}{720}+o(x^3)$
$\sin(1-\cos(\sqrt{x}))=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+\frac{x^3}{720}+o(x^3)-\frac{\left(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+\frac{x^3}{720}+o(x^3)\right)^3}{6}+o\left(\left(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+\frac{x^3}{720}+o(x^3)\right)^3\right)=$
Ragionando un po' sugli o-piccolo, ci accorgiamo che tutti i termini che hanno esponente maggiore di 3 possono essere trascurati. In particolare del cubo, l'unico termine che "sopravvive" è $\left(\frac{x}{2}\right)^3$, [è il pezzo che hai perso per aver abbassato l'ordine di sviluppo del seno], tutti gli altri hanno esponente maggiore di 3
$=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+\frac{x^3}{720}+o(x^3)-\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^3}{6}+o\left(x^3\right)=$
$=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}-\frac{7x^3}{360}+o(x^3)$
Ora puoi concludere l'esercizio.
Questo ha fatto sì che perdessi per strada un monomio di 3° grado che scaturisce dallo sviluppo della composta$\cos(\sqrt{x})=1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}-\frac{x^3}{720}+o(x^3)$
$\sin(1-\cos(\sqrt{x}))=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+\frac{x^3}{720}+o(x^3)-\frac{\left(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+\frac{x^3}{720}+o(x^3)\right)^3}{6}+o\left(\left(\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+\frac{x^3}{720}+o(x^3)\right)^3\right)=$
Ragionando un po' sugli o-piccolo, ci accorgiamo che tutti i termini che hanno esponente maggiore di 3 possono essere trascurati. In particolare del cubo, l'unico termine che "sopravvive" è $\left(\frac{x}{2}\right)^3$, [è il pezzo che hai perso per aver abbassato l'ordine di sviluppo del seno], tutti gli altri hanno esponente maggiore di 3
$=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}+\frac{x^3}{720}+o(x^3)-\frac{\left(\frac{x}{2}\right)^3}{6}+o\left(x^3\right)=$
$=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{24}-\frac{7x^3}{360}+o(x^3)$
Ora puoi concludere l'esercizio.
L'ho abbassato perché mi sembrava inutile, invece non lo era....
Non riesco a capire quando è utile e quando no arrivare fino a un certo ordine, in questo caso sembrava tornare... e invece era sbagliato!
Non riesco a capire quando è utile e quando no arrivare fino a un certo ordine, in questo caso sembrava tornare... e invece era sbagliato!
In questa tipologia di esercizi bisogna acquisire un po' di malizia. Per esempio, la prima cosa che ho fatto appena ho visto la traccia è intuire l'ordine minimo (intuire, non calcolare). Sono partito dal termine logaritmico che per $x\to 0$ si comporta come $\frac{x^2}{24}$ (è una semplice stima asintotica), da qui mi sono detto: devo sviluppare tutti i termini almeno fino al terzo ordine - un ordine in più rispetto a quello scaturito dal termine logaritmico - nella speranza che mi rimanga qualche termine non nullo nello sviluppo finale.
Il problema qui è la radice quadrata presente nell'argomento del coseno, che per sua natura dimezza l'ordine di sviluppo della funzione di cui è argomento: ho pensato quindi che per avere l'ordine giusto di $\cos(\sqrt{x})$ fosse necessario sfruttare lo sviluppo notevole del coseno fino all'ordine sei.
Per quanto riguarda il seno, beh, per non avere problemi di termini persi per strada lo sviluppo fino al terzo ordine, non si sa mai.
Questo è il mio processo mentale che spero ti possa aiutare.
Il problema qui è la radice quadrata presente nell'argomento del coseno, che per sua natura dimezza l'ordine di sviluppo della funzione di cui è argomento: ho pensato quindi che per avere l'ordine giusto di $\cos(\sqrt{x})$ fosse necessario sfruttare lo sviluppo notevole del coseno fino all'ordine sei.
Per quanto riguarda il seno, beh, per non avere problemi di termini persi per strada lo sviluppo fino al terzo ordine, non si sa mai.
Questo è il mio processo mentale che spero ti possa aiutare.
Chiarificatore, ti ringrazio
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