Ordine di infinitesimo dipendente da $\alpha$.
Sia data $h_{\alpha}(x)=2sin^2(ln(1+x))ln(cosx)+x^{4\alpha}$ con $\alpha>0$. Determinare l'ordine di infinitesimo di $h_\alpha$ al variare di $\alpha $ per $x->0$
Ho ragionato nel seguente modo.
Notiamo che la quantità $j(x)=2sin^2(ln(1+x))ln(cosx)$ è un infinitesimo di ordine pari a quattro. Infatti,
$ln(cosx)$ è di ordine 2 in quanto $EE lim_{x->0} | ln(cosx)/x^2 | = 1/2$.
e $sin^2(ln(1+x))$ è di ordine $1* 2=2$ in quanto composizione di funzioni infinitesime in zero rispettivamente di ordine 1 e 2. Dunque è ovvio che l'ordine di $j$ è pari a $2+2=4$.
Sia Ora $m(x)=x^{\beta}$ funzione infinitesima in $0$. E valutiamo il limite :
$lim_{x->0} | (h_{\alpha}(x))/x^{\beta}| =lim_{x->0}| (2sin^2(ln(1+x))ln(cosx)+x^{4\alpha})/x^{\beta}| $ (1).
Essendo $x^{4\alpha}$ un infinitesimo maggiore di 4, per il principio di sostituzione degli infinitesimi di ordine maggiore (1) è equivalente a :
$lim_{x->0}| (2sin^2(ln(1+x))ln(cosx))/x^{\beta}| $ (2)
Affinché esista finito (2) , deve essere necessariamente $\beta = 4$. Ciò ci permette di concludere che $h_{\alpha}$ per $\alpha >0$ è un infinitesimo di ordine $4$ in $0$.
Vi convince ragazzi? Grazie mille.
Ho ragionato nel seguente modo.
Notiamo che la quantità $j(x)=2sin^2(ln(1+x))ln(cosx)$ è un infinitesimo di ordine pari a quattro. Infatti,
$ln(cosx)$ è di ordine 2 in quanto $EE lim_{x->0} | ln(cosx)/x^2 | = 1/2$.
e $sin^2(ln(1+x))$ è di ordine $1* 2=2$ in quanto composizione di funzioni infinitesime in zero rispettivamente di ordine 1 e 2. Dunque è ovvio che l'ordine di $j$ è pari a $2+2=4$.
Sia Ora $m(x)=x^{\beta}$ funzione infinitesima in $0$. E valutiamo il limite :
$lim_{x->0} | (h_{\alpha}(x))/x^{\beta}| =lim_{x->0}| (2sin^2(ln(1+x))ln(cosx)+x^{4\alpha})/x^{\beta}| $ (1).
Essendo $x^{4\alpha}$ un infinitesimo maggiore di 4, per il principio di sostituzione degli infinitesimi di ordine maggiore (1) è equivalente a :
$lim_{x->0}| (2sin^2(ln(1+x))ln(cosx))/x^{\beta}| $ (2)
Affinché esista finito (2) , deve essere necessariamente $\beta = 4$. Ciò ci permette di concludere che $h_{\alpha}$ per $\alpha >0$ è un infinitesimo di ordine $4$ in $0$.
Vi convince ragazzi? Grazie mille.
Risposte
Quasi: tu hai dimostrato che $h_\alpha(x)=x^4+x^{4\alpha}$ in un intorno di $x\to 0$ (in realtà hai solo calcolato l'ordine di quella funzione $j$, ma è facile vedere che la sua parte principale è proprio $x^4$). Ora, se calcoli il limite con $x^\beta$ puoi distinguere due casi:
1) se $4\alpha\ge 4$ allora la funzione $x^{4\alpha}$ è un infinitesimo di ordine maggiore, e quindi la funzione $h_\alpha$ è un infinitesimo di ordine $4$
2) se $4\alpha<4$ e cioè quando $\alpha <1$, allora è $x^4$ di ordine maggiore, e pertanto l'ordine di infinitesimo di $h_\alpha$ è $4\alpha$.
1) se $4\alpha\ge 4$ allora la funzione $x^{4\alpha}$ è un infinitesimo di ordine maggiore, e quindi la funzione $h_\alpha$ è un infinitesimo di ordine $4$
2) se $4\alpha<4$ e cioè quando $\alpha <1$, allora è $x^4$ di ordine maggiore, e pertanto l'ordine di infinitesimo di $h_\alpha$ è $4\alpha$.
mmh vediamo se ho capito , dicendo che la quantità $j(x)$ è un infinitesimo di ordine 4, dico che $EE l \in RR t.c j(x)=lx^4+o(x^4)$. Dunque considerando
$lim_{x->0} | (j(x)+x^4{\alpha} )/x^{\beta}|= lim_{x->0} |(lx^4+o(x^4)+x^{4\alpha})/x^{\beta}|$ (1)
considero due casi
1 caso) Se $4\alpha>4 <=> \alpha>1$ allora $x^{4\alpha}$ è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a $j(x)$ e quindi
(1) è equivalente a
$lim_{x->0} |(lx^4+o(x^4))/x^{\beta}|$ (2) e affinché (2) sia finito deve essere necessariamente $\beta=4$. Ciò ci dice che in questo caso l'ordine di $h_{\alpha}$ è quattro.
2) Se $4\alpha<4 <=> 0<\alpha<1$ allora $j(x)$ è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a $x^{4\alpha}$ e dunque (1) è equivalente a
$lim_{x->0} |(x^{4\alpha})/x^{\beta}|$ (3). Affinché esista finito (3) deve essere che $\beta=4\alpha$. Questo ci dice che in questo caso l'ordine di $h_{\alpha}$ è $4\alpha$
Tutto giusto?
Grazie Ciampax
$lim_{x->0} | (j(x)+x^4{\alpha} )/x^{\beta}|= lim_{x->0} |(lx^4+o(x^4)+x^{4\alpha})/x^{\beta}|$ (1)
considero due casi
1 caso) Se $4\alpha>4 <=> \alpha>1$ allora $x^{4\alpha}$ è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a $j(x)$ e quindi
(1) è equivalente a
$lim_{x->0} |(lx^4+o(x^4))/x^{\beta}|$ (2) e affinché (2) sia finito deve essere necessariamente $\beta=4$. Ciò ci dice che in questo caso l'ordine di $h_{\alpha}$ è quattro.
2) Se $4\alpha<4 <=> 0<\alpha<1$ allora $j(x)$ è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a $x^{4\alpha}$ e dunque (1) è equivalente a
$lim_{x->0} |(x^{4\alpha})/x^{\beta}|$ (3). Affinché esista finito (3) deve essere che $\beta=4\alpha$. Questo ci dice che in questo caso l'ordine di $h_{\alpha}$ è $4\alpha$
Tutto giusto?
Grazie Ciampax
Esatto. Prego, è un piacere. In generale, tieni sempre presente che i parametri possono restituire valori maggiori o minori di quelli di riferimento.
Terrò a mente ciamp!
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