Ordine di infinitesimo di ✓[(x^2)-1]

[Rameses]

Buongiorno a tutti, volevo chiedere se potevate darmi una mano con un esercizio che richiede di calcolare l'ordine di infinitesimo della funzione:
[(x^2)-1]^1/2 x-->1 Ho calcolato per prima cosa il limite, verificando che sia effettivamente un infinitesimo, ma poi mi son incartato nei calcoli, che vi espongo così magari riuscite a dirmi dove sbaglio. Iniziamo.
Ho scomposto la funzione nel seguente modo

$ ((x-1)(x+1))^(1/2) $

E l'ho divisa per l'infinitesimo campione (x-1)^a, ottenendo

$ ((x-1)(x+1))^(1/2)/(x-1)^a $

A questo punto ho elevato numeratore e denominatore al quadrato, ricavando

$ ((((x-1)(x+1))^(1/2))^(2))/((x-1)^a)^2 $

Potendo così eliminare la radice.
A questo punto, semplificando, ho ottenuto

$ (x+1)/(x-1)^a $

e qui mi son bloccato.
Potete dirmi dove e come sbaglio (suppongo di aver fatto errori abbastanza grossolani) e darmi la correzione dell'esercizio?
Grazie in anticipo per la risposta,
cordiali saluti
Rameses.

[Brancaleone1]

"Rameses":

$ ((((x-1)(x+1))^(1/2))^(2))/((x-1)^a)^2 $

Potendo così eliminare la radice.
A questo punto, semplificando, ho ottenuto

$ (x+1)/(x-1)^a $

e qui mi son bloccato.

Questo passaggio è sbagliato. Puoi ragionare così:

$lim_(x->1) sqrt(x^2-1) = sqrt((x+1)(x-1))$[tex]\sim[/tex]$sqrt(x-1)$

e quindi

$lim_(x->1) sqrt(x-1)/((x-1)^a)= ...$

[Rameses]

Grazie mille per la risposta rapida!
Scusa se insisto ma posso chiederti con che ragionamento affermi che ✓(x+1)(x-1)~✓(x-1)?
Detta brutalmente, che fine fa ✓(x+1)?
Hai usato una equivalenza asintotica? Se si, puoi dirmi quale?
Ringrazio di nuovo in anticipo per la risposta,
Rameses.

[Brancaleone1]

Sì, è un'equivalenza asintotica - in pratica, due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ si dicono asintoticamente equivalenti se

$lim_(x->x_0) (f(x))/(g(x))=1$

e si scrive

$f(x)$[tex]\sim[/tex]$g(x)$ per $x->x_0$