Ordine di infinitesimo di una funzione
Come faccio a dimostrare che:
$e^(x^2)-cosx$
è un infinitesimo di ordine 2?
In effetti se con Derive faccio $lim_{x \to \0} (e^(x^2)-cosx)/x^2$ il risultato è finito ed = 3/2 e ciò dimostrerebbe che è un infinitesimo di ordine 2 ma non riesco a capire come ci si arriva...
Grazie a tutti
$e^(x^2)-cosx$
è un infinitesimo di ordine 2?
In effetti se con Derive faccio $lim_{x \to \0} (e^(x^2)-cosx)/x^2$ il risultato è finito ed = 3/2 e ciò dimostrerebbe che è un infinitesimo di ordine 2 ma non riesco a capire come ci si arriva...
Grazie a tutti
Risposte
Con De L'Hopital.
$lim_(x->0)\frac{e^x^2-cosx}{x^2}=lim_(x->0)\frac{e^x^2+1-1-cosx}{x^2}=lim_(x->0)\frac{e^x^2-1}{x^2}+\frac{1-cosx}{x^2}=1+1/2=3/2$
Perfetto ho capito! In effetti era piuttosto semplice con entrambi i metodi
L'esercizio in realtà chiedeva di calcolare il grado di questo infinitesimo in 0 e non di dimostrare che il grado dell'infinitesimo fosse 2.
Devo procedere per tentativi facendo i limiti
$lim_{x \to \0} (e^(x^2)-cosx)/x$
$lim_{x \to \0} (e^(x^2)-cosx)/x^2$
$lim_{x \to \0} (e^(x^2)-cosx)/x^n$
e quindi verificare per quale il risultato del limite è finito e diverso da 0, oppure posso determinare il grado direttamente in altro modo?
L'esercizio in realtà chiedeva di calcolare il grado di questo infinitesimo in 0 e non di dimostrare che il grado dell'infinitesimo fosse 2.
Devo procedere per tentativi facendo i limiti
$lim_{x \to \0} (e^(x^2)-cosx)/x$
$lim_{x \to \0} (e^(x^2)-cosx)/x^2$
$lim_{x \to \0} (e^(x^2)-cosx)/x^n$
e quindi verificare per quale il risultato del limite è finito e diverso da 0, oppure posso determinare il grado direttamente in altro modo?
Ho capito che è sufficiente fare in modo di rendere finito questo limite:
$lim_{x\to\0}f(x)/x^alpha$
e quindi trovare $alpha$ che determinerà pertanto il grado di infinitesimo di f(x)!
$lim_{x\to\0}f(x)/x^alpha$
e quindi trovare $alpha$ che determinerà pertanto il grado di infinitesimo di f(x)!
Io avrei usato Taylor. Infatti
$e^{x^2}-\cos x=1+x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+o(x^4)=\frac{3x^2}{2}+o(x^2)$
da cui ricavi che la parte principale della funzione è $3/2 x^2$ e il suo ordine di infinitesimo è $2$.
$e^{x^2}-\cos x=1+x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^4)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+o(x^4)=\frac{3x^2}{2}+o(x^2)$
da cui ricavi che la parte principale della funzione è $3/2 x^2$ e il suo ordine di infinitesimo è $2$.
ciao a tutti sono un nuovo utente , avrei bisogno di risolvere questo esercizio: calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte pricipale in x=0 di f(x)=(1-e^x)^2 +tg(senx) .
io ho risolto prima il primo addendo e usando il criterio del confronto tra infinitesimi ho ottenuto il limite notevole lim x-0 (1-e^x)^2/x^2=-1 giusto? perche lim x-0 e^x -1/x=1
AIUTATEMI GRAZIE
io ho risolto prima il primo addendo e usando il criterio del confronto tra infinitesimi ho ottenuto il limite notevole lim x-0 (1-e^x)^2/x^2=-1 giusto? perche lim x-0 e^x -1/x=1
AIUTATEMI GRAZIE
"caixa":
ciao a tutti sono un nuovo utente , avrei bisogno di risolvere questo esercizio: calcolare l'ordine di infinitesimo e la parte pricipale in x=0 di f(x)=(1-e^x)^2 +tg(senx) .
io ho risolto prima il primo addendo e usando il criterio del confronto tra infinitesimi ho ottenuto il limite notevole lim x-0 (1-e^x)^2/x^2=-1 giusto? perche lim x-0 e^x -1/x=1
AIUTATEMI GRAZIE
Impara a scrivere le formule matematiche con i linguaggi di cui è dotato il forum; poi ne riparliamo.
calcola l'ordine di infinitesimo e la parte principale in x=0 della funzione : $ (1-e^{})^2+tan ( sin x) $
@Caixa
Prima di postare una formula(che immagino sia questa [tex](1-e^x)^2+\tan(\sin x)[/tex]), premi prima su anteprima per capire se verrà visualizzata correttamente o meno e correggila se necessario. Detto ciò, è comunque richiesto un input tuo alla risoluzione prima di un eventuale aiuto.
Prima di postare una formula(che immagino sia questa [tex](1-e^x)^2+\tan(\sin x)[/tex]), premi prima su anteprima per capire se verrà visualizzata correttamente o meno e correggila se necessario. Detto ciò, è comunque richiesto un input tuo alla risoluzione prima di un eventuale aiuto.
si e' quella la formula ... allora io ho provato prima a trovare la parte principale
perche so il limite notevole$ lim_(x -> o) ((e^{x}-1)/x)=1 $
quindi se lo confronto con 1/x elevato ad alfa e scelgo alfa=2 ottengo: $ lim_(x -> 0) (1-e^{x})^2/x^2=-1 $ quindi la parte principale di qst parte e' -x^2 giusto?
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