Ordine di infinitesimo corretto? Grazie

[smaug1]

per \(\displaystyle x \rightarrow 0 \)

Calcolare l'ordine di infinitesimo della funzione:

\(\displaystyle 4xe^{-2x} - ln (1 + 4x)\)

Io ho pensato di fare così:

\(\displaystyle \lim \) \(\displaystyle \frac{4xe^{-2x}}{x^{\alpha}} \) - \(\displaystyle \lim \) \(\displaystyle \frac{ln (1 + 4x)}{x^{\alpha}} \), il primo pezzo è \(\displaystyle \alpha = 1 \) affinchè il limite sia \(\displaystyle \neq 0 \) e stesso discorso vale anche per il secondo pezzo...se il discorso fosse giusto quale è l'ordine di infinitesimo della funzione? \(\displaystyle \alpha=1? \)

[Sk_Anonymous]

Non necessariamente la somma di infinitesimi aventi lo stesso ordine è un infinitesimo dell'ordine comune, puoi avere delle cancellazioni. In ogni modo, sviluppando in serie per $[x->0]$:

$4xe^(-2x)-ln(1+4x)=4x[1-2x+2x^2+o(x^2)]-4x+8x^2-64/3x^3+o(x^3)=$

$=4x-8x^2+8x^3+o(x^3)-4x+8x^2-64/3x^3+o(x^3)=-40/3x^3+o(x^3)$

Quindi:

$lim_(x->0)[(4xe^(-2x)-ln(1+4x))/x^3]=lim_(x->0)[(-40/3x^3+o(x^3))/x^3]=lim_(x->0)[-40/3+o(1)]=-40/3$

In definitiva, l'ordine di infinitesimo è $[alpha=3]$.