Ordine di infinitesimo coefficienti di fourier
Salve!
Data $f(x) = \sqrt(1-x^2)$, $L^1((-1,1))$, detto $c_k(f)$ il suo k-esimo coefficiente di fourier, trovare l'ordine di infinitesimo di $c_k(f)$.
Ora, $f(x)$ è continua nell'intervallo, mentre \( f' \in L^1 \), per cui ho che \( c_k(f) = c_k(f')/(ik\pi) \), d'altra parte non posso applicare nuovamente questo procedimento a causa delle discontinuità di $f'$... quindi so che $c_k(f)$ è almeno $o(1/k)$, ma questo non mi risolve la questione! Cos'altro posso usare in una situazione del genere?
Data $f(x) = \sqrt(1-x^2)$, $L^1((-1,1))$, detto $c_k(f)$ il suo k-esimo coefficiente di fourier, trovare l'ordine di infinitesimo di $c_k(f)$.
Ora, $f(x)$ è continua nell'intervallo, mentre \( f' \in L^1 \), per cui ho che \( c_k(f) = c_k(f')/(ik\pi) \), d'altra parte non posso applicare nuovamente questo procedimento a causa delle discontinuità di $f'$... quindi so che $c_k(f)$ è almeno $o(1/k)$, ma questo non mi risolve la questione! Cos'altro posso usare in una situazione del genere?
Risposte
In generale, partendo solo da considerazioni di regolarità su $f$, non penso si possa dire molto di più.
A limite, nel tuo caso, puoi arrivare a dire che \( c_k = O(1/k^2) \); puoi vedere ad esempio il Teor. 5.18.6 del libro di Picardello:
http://www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/ ... /LIBRO.pdf
A limite, nel tuo caso, puoi arrivare a dire che \( c_k = O(1/k^2) \); puoi vedere ad esempio il Teor. 5.18.6 del libro di Picardello:
http://www.mat.uniroma2.it/~picard/SMC/ ... /LIBRO.pdf
questo testo mi mancava... gli darò certamente (più di) una letta, grazie!
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