Ordine di infinitesimo

[mulo1990]

Ciao, avrei bisogno di una mano per questo esercizio:

$f(x)=(1-cos2x^(2))(e^(x^(2)) -1)(log(1+3x))$

a) Scrivere la formula di Taylor di ordine 9 e di centro $x=0$ di f.
b) Calcolare $f^(9)(0)$.
c) Calcolare l'ordine di infinitesimo per $ x -> 0 $ di: $f(x)+(x^(5)+x^(7))/(x^(2)+1)$

Il punto a) mi torna $f(x)= 6x^7+3x^9+o(x^9)$, il punto b) $f^(9)(0)=3(9!)$;
Il punto c) mi torna che è un infinitesimo di ordine 3;

Qualcuno potrebbe controllare se ho fatto qualche errore?

Grazie mille.

[mulo1990]

Nessuno mi sa dare una mano? Mi serve davvero perche ho l'esame tra pochi giorni.
Grazie

[Seneca1]

Forse ottieni maggior successo se posti anche i passaggi che hai fatto. Altrimenti a chi li corregge tocca rifarseli per intero e questo è un buon deterrente per non rispondere.

[ciampax]

Vediamo un po':

[tex]$f(x)=\left(\frac{4x^4}{2}-\frac{16x^8}{24}+o(x^8)\right)\cdot\left(x^2+\frac{x^4}{2}+\frac{x^6}{6}+o(x^6)\right)\cdot\left(3x-\frac{9x^2}{2}+\frac{27x^3}{3}-\frac{81x^4}{4}+o(x^4)\right)=$[/tex]
[tex]$=2x^4\cdot x^2\cdot 3x\cdot\left(1-\frac{x^4}{3}+o(x^4)\right)\cdot\left(1+\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{6}+o(x^4)\right)\cdot\left(1-\frac{3x}{2}+3x^2-\frac{27x^3}{4}+o(x^3)\right)=$[/tex]

e notando che tutta la funzione risulta con termine minimo pari a [tex]$6x^7$[/tex] conserviamo nei prodotti tra parentesi solo quelli che non superano l'esponente $2$, così da avere

[tex]$f(x)=6x^7\left(1-\frac{3x}{2}+3x^2+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)=6x^7-9x^8+21x^9+o(x^9)$[/tex]

Inoltre [tex]$f^{(ix)}(0)=21\cdot 9!$[/tex] e

[tex]$f(x)+\frac{x^5+x^7}{1+x^2}\sim 6x^7+\frac{x^5(1+x^2)}{1+x^2}=6x^7+x^5\sim x^5$[/tex]

e quindi l'ordine di infinitesimo è $5$.

[mulo1990]

Perfetto, avevo fatto un errore nella moltiplicazione

Grazie mille!