Ordine di infinitesimo
Ok, domani esame!
Sia dato l'infinitesimo (per x->0):
$f(x)=\frac{3x^2-sin(3x^2)}{1-cos(4x)+ln(1-8x^2)}
a) Discutere, al variare di $\alpha >0$, $lim_{x->0^+} \frac{f(x)}{x^\alpha}$
b) Determinare l'ordine di infinitesimo di $f(x) + \frac{x^5}{1-x^2}$
Io ho sviluppato f(x) con Taylor e ho:
$f(x)=\frac{3x^2-(3x^2-27/6 x^6 +o(x^6))}{1-(1-16/2 x^2 + 256/24 x^4 - 4096/720 x^6 +o(x^6))+(-8x^2+o(x^2))} cioé:
$f(x)= \frac{9/2 x^6 +o(x^6)}{4096/720 x^6+o(x^6)} = 0.7910$
Ora, se ho fatto bene, per $\alpha>0$ il limite dovrebbe venire 0, qualunque sia $\alpha$.
Il punto b) invece come posso fare? So che ci sono delle regole per sommare e sottrarre gli ordini di infinitesimo..
Qualcuno mi da' una mano?
Grazie mille!
Sia dato l'infinitesimo (per x->0):
$f(x)=\frac{3x^2-sin(3x^2)}{1-cos(4x)+ln(1-8x^2)}
a) Discutere, al variare di $\alpha >0$, $lim_{x->0^+} \frac{f(x)}{x^\alpha}$
b) Determinare l'ordine di infinitesimo di $f(x) + \frac{x^5}{1-x^2}$
Io ho sviluppato f(x) con Taylor e ho:
$f(x)=\frac{3x^2-(3x^2-27/6 x^6 +o(x^6))}{1-(1-16/2 x^2 + 256/24 x^4 - 4096/720 x^6 +o(x^6))+(-8x^2+o(x^2))} cioé:
$f(x)= \frac{9/2 x^6 +o(x^6)}{4096/720 x^6+o(x^6)} = 0.7910$
Ora, se ho fatto bene, per $\alpha>0$ il limite dovrebbe venire 0, qualunque sia $\alpha$.
Il punto b) invece come posso fare? So che ci sono delle regole per sommare e sottrarre gli ordini di infinitesimo..
Qualcuno mi da' una mano?
Grazie mille!
Risposte
Hai sbagliato lo sviluppo al denominatore: devi scrivere
$1-\cos(4x)+\ln(1-8x^2)=1-(1-8 x^2+32/3 x^4+o(x^4))+(-8x^2+32x^4+o(x^4))=64/3 x^4+o(x^4)$
e quindi la tua funzione ha parte principale $f(x)=27/128 x^2+o(x^2)$ (del resto ti dice che $f$ è infinitesima... a te era venuta con ordine della costante che non va a zero!).
$1-\cos(4x)+\ln(1-8x^2)=1-(1-8 x^2+32/3 x^4+o(x^4))+(-8x^2+32x^4+o(x^4))=64/3 x^4+o(x^4)$
e quindi la tua funzione ha parte principale $f(x)=27/128 x^2+o(x^2)$ (del resto ti dice che $f$ è infinitesima... a te era venuta con ordine della costante che non va a zero!).
Poiché il limite si presenta in una forma indeterminata $ 0/0 $ io ti consiglierei di applicare l'Hopital inizialmente, poi adoprando qualche limite notevole e qualche operazione algebrica dovrebbe uscirti (se non ho fatto errori)
$ 27/64*lim_{x \to 0^(+)} 8x^4 - x^2 $.
Quindi, procedendo al calcolo del limite $ 27/64*\lim_{x \to 0^(+)}(8x^4-x^2)/x^{\alpha} $, con $ \alpha > 0 $ hai i vari casi (in base a quanto ho ottenuto, nn dovresti avere $0$ per qualsiasi valore di $ \alpha >0$, anzi hai tre valori distinti del limite al variare di $ \alpha>0 $)
P.S.: anche se il procedimento è un po' + lungo, ritengo sia + "pulito"
$ 27/64*lim_{x \to 0^(+)} 8x^4 - x^2 $.
Quindi, procedendo al calcolo del limite $ 27/64*\lim_{x \to 0^(+)}(8x^4-x^2)/x^{\alpha} $, con $ \alpha > 0 $ hai i vari casi (in base a quanto ho ottenuto, nn dovresti avere $0$ per qualsiasi valore di $ \alpha >0$, anzi hai tre valori distinti del limite al variare di $ \alpha>0 $)
P.S.: anche se il procedimento è un po' + lungo, ritengo sia + "pulito"
@ciampax: il tuo ragionamento mi torna, ma perché ti sei fermato all'ordine 3 al denominatore? In un certo senso è questo quello che mi interessa: sapere a che ordine devo fermarmi quando sviluppo con Taylor una frazione.
Grazie ancora.
Grazie ancora.
Bé, io ormai vado ad occhio! Non credo ci sia un metodo standard per capire a quale ordine fermarsi. Io ti consiglio di iniziare sempre con 4/5 termini per ogni sviluppo e, man mano che procedi, eliminare i termini superflui. Con un po' di pratica, ti accorgerai col tempo che riesci a "prevedere" quale sia il termine giusto a cui fermare lo sviluppo.
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