Ordine di infinitesimo

[ellie111]

determinare l'ordine di infinitesimo, per x->0, della seguente funzione:
$ f(x)=1-e^sin(x^2)+int_(0)^(x) e^-(1/t^2) dt $
avevo pensato di usare lo sviluppo di Taylor per il secondo termine, ma non so poi affrontare l'integrale.
grazie in anticipo

[mauri54]

"ellie11":determinare l'ordine di infinitesimo, per x->0, della seguente funzione:
$ f(x)=1-e^sin(x^2)+int_(0)^(x) e^-(1/t^2) dt $
avevo pensato di usare lo sviluppo di Taylor per il secondo termine, ma non so poi affrontare l'integrale.
grazie in anticipo

Usa la definizione e confronta la tua funzione con il suo infinitesimo campione.
Per poter svolgere il limite utilizza De l'Hopital e poni $\alpha$ in modo che ti venga un limite finito e non nullo.
Facendo la derivata del denominatore ricorda che la derivata della funzione integrale è l'integranda calcolata in $x$ grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale (che si può applicare perché l'integranda è continua in un intorno bucato di $0$)

\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\sin{x^2}e^{\sin{x^2}}+\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-\frac{1}{t^2}}dt}{x^{\alpha}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2x\cos{x^2}e^{\sin{x^2}}+e^{-\frac{1}{x^2}}}{\alpha x^{\alpha-1}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(-2\cos{x^2}e^{\sin{x^2}}+\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x})}{\alpha x^{\alpha-1}}=-2\ \ \ \ \ \ \text{se }\alpha=1 \)

Quindi l'ordine di infinitesimo è 1.
Ti torna?

[ellie111]

sisi, sei stato chiarissimo...grazie mille