Ordine di infinitesimo
Ciao a tutti, devo calcolare l'ordine di infinitesimo della seguente funzione in $ x=0 $
$ f(x)=log(1+x^2)+1-e^(sen(x^2))+log[2-cos(1/x)]e^(-1/x^2) $
So che devo confrontare con $ x^alpha $, che quindi va al denominatore, ma è davvero necessario usare Taylor? Non posso usare il principio di cancellazione degli infinitesimi?
$ f(x)=log(1+x^2)+1-e^(sen(x^2))+log[2-cos(1/x)]e^(-1/x^2) $
So che devo confrontare con $ x^alpha $, che quindi va al denominatore, ma è davvero necessario usare Taylor? Non posso usare il principio di cancellazione degli infinitesimi?
Risposte
"floyd123":
Ciao a tutti, devo calcolare l'ordine di infinitesimo della seguente funzione in $ x=0 $
$ f(x)=log(1+x^2)+1-e^(sen(x^2))+log[2-cos(1/x)]e^(-1/x^2) $
So che devo confrontare con $ x^alpha $, che quindi va al denominatore, ma è davvero necessario usare Taylor? Non posso usare il principio di cancellazione degli infinitesimi?
Si devi usare Taylor. Non è difficile. Scopri l'ordine di infinitesimo del primo pezzo del denominatore sostituendo con gli sviluppi di Taylor
\( \log(1+x^2)+1-e^{\sin{x^2}}\sim _{0}\ (x^2-\frac{x^4}{2})+1-e^{x^2}\sim _{0}\ (x^2-\frac{x^4}{2})+(-x^2-\frac{x^4}{2})=-x^4 \)
Quindi quel primo pezzo ha ordine 4. Però al numeratore c'è anche \( \log[2-\cos(1/x)]e^{-1/x^2} \) che tende a 0 di ordine maggiore ad ogni potenza della $x$, in particolare è un ordine più alto di $4$. Quindi posso buttarlo via per il principio di eliminazione degli infinitesimi. Quindi calcolare l'ordine della funzione che hai scritto è equivalente a calcolare l'ordine del pezzo \( \log(1+x^2)+1-e^{\sin{x^2}} \) che è 4 per lo sviluppo che ho fatto prima.
Ho capito, grazie mille! Posso chiederti solo come hai fatto a vedere così velocemente che il secondo membro tende a 0 con un ordine maggiore del primo membro?
Spesso quando si studiano le gerarchie degli infinitesimi si da il seguente limite "notevole"
\( \displaystyle\lim_{y\rightarrow -\infty} y^{\alpha}e^{y}=\displaystyle\lim_{y\rightarrow -\infty}\frac{e^y}{\frac{1}{y^\alpha}}=0 \) $\ \forall\alpha\in\mathbb{R}$
Quindi questo ti dice che \( \displaystyle\lim_{y\rightarrow -\infty} e^y=0 \) di ordine \( >\alpha \) $\forall\alpha\in\mathbb{R}$.
N.B l'esponenziale è infinitesimo a $-\infty$ ma non ha ordine reale. Si può dire solo che ha un ordine \( >\alpha \) $\ \forall\alpha\in\mathbb{R}$
\( \displaystyle\lim_{y\rightarrow -\infty} y^{\alpha}e^{y}=\displaystyle\lim_{y\rightarrow -\infty}\frac{e^y}{\frac{1}{y^\alpha}}=0 \) $\ \forall\alpha\in\mathbb{R}$
Quindi questo ti dice che \( \displaystyle\lim_{y\rightarrow -\infty} e^y=0 \) di ordine \( >\alpha \) $\forall\alpha\in\mathbb{R}$.
N.B l'esponenziale è infinitesimo a $-\infty$ ma non ha ordine reale. Si può dire solo che ha un ordine \( >\alpha \) $\ \forall\alpha\in\mathbb{R}$
Capito, grazie infinite 
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