Ordine di infinitesimo?
Ragazzi, non ho ben capito come calcolare l'ordine di infinitesimo, potreste solo indicarmi i vari passaggi in questo esercizio, grazie!
Risposte
I miei tentativi come letto da altre parti sono stati quello di calcolarsi il limite di g(x)/ x^a , e per facilitare i calcoli ho sostituito x - $ \pi $ /2 = t, per t ->0. Ma tale limite risulta 0 per ogni a, in tale caso come si procede?
L'ordine di infinitesimo corrisponde all'esponente del primo termine nell'espansione in Taylor della funzione
Sicuramente sbaglio io, ma a me risulta $g(x)=-1/(3!)(x-pi/2)+o(x-pi/2)$.
L'infinitesimo campione non è $x^a$ bensì $(x-pi/2)^a$.
Ti conviene sostituire nel limite come hai fatto ($t=x-pi/2$), passando quindi ad un limite per $t to 0$, in cui se fai il denominatore comune e sviluppi il $sin t$ a numeratore fino al terz'ordine e quello a denominatore al primo trovi la soluzione.
L'infinitesimo campione non è $x^a$ bensì $(x-pi/2)^a$.
Ti conviene sostituire nel limite come hai fatto ($t=x-pi/2$), passando quindi ad un limite per $t to 0$, in cui se fai il denominatore comune e sviluppi il $sin t$ a numeratore fino al terz'ordine e quello a denominatore al primo trovi la soluzione.
Una volta operata la sostituzione $x-pi/2=t$, notato che $cos(t+pi/2)=-sint$, la funzione risulta:
$1/t-1/sint=$
$=(sint-t)/(tsint)$
Sapendo che Taylor di $sint=t-t^3/6$ risulta:
$(t-t^3/6-t)/(t*(t-t^3/6))$
Al denominatore i termini con esponente maggiore di due sono trascurabili e quindi:
$-t^3/6/t^2=-t/6=-(x-pi/2)/6$, l'ordine è pertanto $1$
$1/t-1/sint=$
$=(sint-t)/(tsint)$
Sapendo che Taylor di $sint=t-t^3/6$ risulta:
$(t-t^3/6-t)/(t*(t-t^3/6))$
Al denominatore i termini con esponente maggiore di due sono trascurabili e quindi:
$-t^3/6/t^2=-t/6=-(x-pi/2)/6$, l'ordine è pertanto $1$
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