Ordine di infinitesimo
salve a tutti, per esercizio io devo dimostrare che la serie $ sum_(n = 1 ) n^a/a^n $ , con a >1 appartenente ai reali. converge utilizzando sia il criterio dell'ordine di infinito sia il criterio del rapporto . Il problema è che non riesco a calcolare l'ordine di infinitesimo $ (n^a/a^n) / ( 1/n^b ) = (n^a*n^b)/a^n = n ^(a+b)/a^n $ arrivato a questo punto non risco a capire come estrapolare l'ordine di infinito.
Qualcuno può aiutarmi?
Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
bé il criterio del rapporto è nella forma $\lim_(n\to +\infty) (a_(n+1))/(a_n)$
si infatti non ho avuto problemi usando il criterio del rapporto ma devo usare anche il criterio dell'ordine di infinitesimo
ok quindi devi a quanto ho capito studiare questo limite $\lim_(n\to +\infty) (n^a)/(a^n)$ sapendo già che $a>1$
secondo me quell' $a>1$ è riferito all'esponenziale come denominatore.. per cui.. ti dico l'esponenziale batte tutto!
se hai dubbi vai a vedere la scala degli ordini di infiniti
secondo me quell' $a>1$ è riferito all'esponenziale come denominatore.. per cui.. ti dico l'esponenziale batte tutto!
se hai dubbi vai a vedere la scala degli ordini di infiniti
dunque secondo te l'ordine di infinitesimo è soprareale?
"21zuclo":
ok quindi devi a quanto ho capito studiare questo limite $\lim_(n\to +\infty) (n^a)/(a^n)$ sapendo già che $a>1$
secondo me quell' $a>1$ è riferito all'esponenziale come denominatore.. per cui.. ti dico l'esponenziale batte tutto!
se hai dubbi vai a vedere la scala degli ordini di infiniti
no scusa ora ho letto meglio il tuom messaggio, non devo studiare quel limite devo calcolare l'ordine di infinitesimo di quella funzione
ah ok capito! madò è un esercizio che non capita spesso.
Comunque.. deve valere questa condizione $\lim_(n\to +\infty) (a_n)/((1)/(n^\beta))=p $ con $p\ne 0, \infty$
e mi sa che finora hai fatto giusto $(n^(a+b))/(a^n)$ per $n\to +\infty$
allora fammici pensare, deve essere diverso da 0,.. ma noi a denominatore abbiamo un esponenziale.. con $a>1$ lo dice nella traccia dell'esercizio giusto?..
Comunque.. deve valere questa condizione $\lim_(n\to +\infty) (a_n)/((1)/(n^\beta))=p $ con $p\ne 0, \infty$
e mi sa che finora hai fatto giusto $(n^(a+b))/(a^n)$ per $n\to +\infty$
allora fammici pensare, deve essere diverso da 0,.. ma noi a denominatore abbiamo un esponenziale.. con $a>1$ lo dice nella traccia dell'esercizio giusto?..
si in teoria deve essere soprarele come valore perchè al tendere di a+b a più infinito l'eposnenziale tende ad assomigliare al denominatore
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