Ordine dello sviluppo di Taylor

[pinkfloydian]

Salve a tutti, vi prego di chiarirmi un punto che non mi è molto chiaro sugli sviluppi di Taylor.
Cioè, quando un esercizio mi chiede di scrivere lo sviluppo di Taylor fino ad un certo ordine, cosa significa?

Ad esempio, posto questo semplice esercizio, in cui si chiede di sviluppare la funzione fino all'ordine 3 centrato in x=0:

$ f(x)=sin^2(2x)=4x^2-16/4x^4+128/45x^6-256/315x^8+o(x^9) $

Dove devo fermarmi con lo sviluppo per scrivere il risultato corretto?
Onestamente io scriverei:
$ f(x)=sin^2(2x)=4x^2+o(x^3) $ ma il risultato che mi è stato dato è: $ 4x^2-16/4x^4+o(x^6) $

[quantunquemente]

se ti fossi fermato a $4x^2$ avresti sviluppato con una "precisione" inferiore a quella richiesta
in questo caso,in mancanza di un termine alla terza,devi fermarti al primo termine con esponente maggiore di $3$

[pinkfloydian]

Ok, grazie mille per il chiarimento! Quindi sarebbe stato corretto se l' esercizio avesse chiesto di sviluppare fino all'ordine 2.
Invece l'esponente di $ o $ da cosa è dato?

[quantunquemente]

ma infatti,a guardar meglio ,io avrei messo al massimo $o(x^5)$ perchè se si continua lo sviluppo c'è un termine con $x^6$
se vuoi,sollecita qualche altro parere

[donald_zeka]

Il mio testo dice: $f(x_0)=P_n(x-x_0)+o(x-x_0)^n$ è l'espansione in serie di Taylor di $f(x)$ centrata in $x_0$ di ordine $n$. E poi aggiunge: l'ordine del polinomio di taylor corrisponde all'esponente di $o(x-x_0)$, pertanto, sviluppare fino all'ordine 3 significa avere un polinomio del tipo $P_3(x-x_0)+o(x-x_0)^3$. In pratica lo hai svolto bene e il risultato del libro è sbagliato.