Ordinare per infinito successioni con fattoriale.

[barsa91]

Ciao! Sto tentando di risolvere un esercizio sugli ordini di infinito ma non riesco bene a capire come applicare i criteri del rapporto o radice in questo caso.

L'esercizio chiede di ordinare le successioni per ordine crescente di infinito le successioni in questione sono:

1) $(n!)^2$
2)$(n!)!$
3)$2^(n!)$

se qualcuno puoi darmi un consiglio.
Grazie

[AlexDilo]

Sostituisci un numero ad n, esempio 3, e la successione con il risultato maggiore va ad infinito più velocemente...

[AlexDilo]

(ciò che ti ho detto però vale per le successioni di cui si è certi che siano strettamente crescenti, come nel tuo caso dato che hai solo esponenziali e fattoriali di numeri naturali)

[Seneca1]

Ma quando mai...!

[barsa91]

non credo vada bene dato che se prendo per esempio ($(1.01)^n$)/$n$ e faccio il limite questo tende a piu infinito.

[Seneca1]

Certo che non va bene...

Comunque tra i primi due riesci a stabilire qual è l'ordine di infinito maggiore?

[barsa91]

non riesco a capire come comportarmi con il fattoriale del fattoriale.

[Seneca1]

"barsa91":non riesco a capire come comportarmi con il fattoriale del fattoriale.

$lim_n (n!)^2/((n!)!) = lim_n ((n!) * (n!))/((n!) * (n! - 1) * (n! - 2)!) = lim_n ((n!) * (n!))/((n!) * (n! - 1) ) * (1/((n! - 2)!))$ ...

[AlexDilo]

"Seneca":[quote="barsa91"]non riesco a capire come comportarmi con il fattoriale del fattoriale.

$lim_n (n!)^2/((n!)!) = lim_n ((n!) * (n!))/((n!) * (n! - 1) * (n! - 2)!) = lim_n ((n!) * (n!))/((n!) * (n! - 1) ) * (1/((n! - 2)!))$ ...[/quote]

per n che tende a più infinito vale la formula di stirling se ti danno fastidio i fattoriali...

[barsa91]

A ok. Grazie. E quindi il primo pezzo tende ad 1, mentre il secondo è infinitesimo e quindi va più veloce $(n!)!$.

[Seneca1]

Sì. Invece per un confronto con $2^(n!)$ potresti scrivere (1) e (2) come $2^(2 * log_2 ( n! ) )$ e $2^( log_2 [ (n!)! ] )$... Solo un'idea.

[barsa91]

Va bene ora provo a vedere come vengono! Grazie.