Ordinamento totale di $RR$

[AnalisiZero]

Ciao,

Non capisco una cosa.
Prendiamo la relazione "minore o uguale" in $RR$: nel libro c'è scritto che è una relazione antisimmetrica, cioè presa una qualunque coppia $x,y$ di numeri reali, se $x<=y$ e $y<=x$ allora $x=y$. Ma se io penso alla definizione di relazione antisimmetrica, la proprietà antisimmetrica significa presa una coppia x,y se x è in relazione con y, allora non è mai vero che y è in relazione con x. Allora secondo la definizione che conosco, non si può dire che $x<=y$ e $y<=x$, contemporaneamente, allora non sarebbe antisimmetrica.

[otta96]

Dipende dalla definizione: di solito l'antisimmetricità si definisce come $x<=y,y<=x=>x=y$, ma alcuni chiamano antisimmetrica un relazione in cui vale $x\noty

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[AnalisiZero]

"otta96":Dipende dalla definizione: di solito l'antisimmetricità si definisce come $x<=y,y<=x=>x=y$, ma alcuni chiamano antisimmetrica un relazione in cui vale $x\noty
Secondo voi potrei fare questo ragionamento per spiegare la cosa?
Io so che la definizione di relazione antisimmetrica è: presa qualunque coppia $x,y$ dentro l'insieme con $x$ diverso da $y$, se è vero che $xRy$ allora non è mai vero che $yRx$. Allora posso pensare che l'unico caso in cui sono vere entrambe le proposizioni, è quando $x$ e $y$ sono uguali e ciò si riconduce alla proprietà riflessiva della stessa relazione che nel caso di elemento in relazione con se stesso può essere letta in entrambi i sensi.
Regge?

[otta96]

Se prendi quella come definizione della proprietà antisimmetrica, allora una relazione non può essere contemporaneamente antisimmetrica e riflessive pensa al perché...

[AnalisiZero]

"otta96":Se prendi quella come definizione della proprietà antisimmetrica, allora una relazione non può essere contemporaneamente antisimmetrica e riflessive pensa al perché...

Perché? La relazione di $<=$ risulta antisimmetrica perché se prendo una coppia di $x,y$ diversi tra loro, non posso leggere una proposizione vera scambiandoli. È riflessiva perché ogni elemento è in relazione con se stesso, infatti ogni elemento è uguale a se stesso.

[killing_buddha]

"AnalisiZero":[quote="otta96"]Se prendi quella come definizione della proprietà antisimmetrica, allora una relazione non può essere contemporaneamente antisimmetrica e riflessive pensa al perché...

Perché? La relazione di $<=$ risulta antisimmetrica perché se prendo una coppia di $x,y$ diversi tra loro, non posso leggere una proposizione vera scambiandoli. È riflessiva perché ogni elemento è in relazione con se stesso, infatti ogni elemento è uguale a se stesso.[/quote]
Se è vero che $x\le y$, allora a volte è vero pure che $y\le x$. Il punto è che tu stai usando una definizione grillina di antisimmetria che impedisce a $\le$ di essere allo stesso tempo riflessiva e antisimmetrica.

[AnalisiZero]

"killing_buddha":[quote="AnalisiZero"][quote="otta96"]Se prendi quella come definizione della proprietà antisimmetrica, allora una relazione non può essere contemporaneamente antisimmetrica e riflessive pensa al perché...

Perché? La relazione di $<=$ risulta antisimmetrica perché se prendo una coppia di $x,y$ diversi tra loro, non posso leggere una proposizione vera scambiandoli. È riflessiva perché ogni elemento è in relazione con se stesso, infatti ogni elemento è uguale a se stesso.[/quote]
Se è vero che $x\le y$, allora a volte è vero pure che $y\le x$. Il punto è che tu stai usando una definizione grillina di antisimmetria che impedisce a $\le$ di essere allo stesso tempo riflessiva e antisimmetrica.[/quote]
Ma se io prendo una coppia di reali, ad esempio $4,5$ se $4<=5$ allora non è vero che $5<=4$ (antisimmetrica).
Invece $4<=4$ perché $4=4$ (riflessiva). Quando dici "a volte" intendi il caso in cui $x,y$ sono uguali? Allora ciò si riduce alla proprietà riflessiva o sbaglio? Perché ho "evitato" questa ambiguità parlando di proprietà antisimmetrica solo per coppie $x,y$ con $x$ diverso da $y$

[killing_buddha]

Il punto è che tu hai in mente unicamente relazioni che sono seriali ("per ogni $x$ esiste almeno un $y$ tale che $x\le y$, $\le$ è ora semplicemente un simbolo di relazione). Per queste, la proprietà antisimmetrica (o anche quella simmetrica) e quella transitiva insieme implicano la riflessività in modo ovvio. Ma prova a trovare un esempio di relazione $R$ su un insieme che, sebbene sia simmetrica (o antisimmetrica) e transitiva non è riflessiva.

[AnalisiZero]

"killing_buddha":Il punto è che tu hai in mente unicamente relazioni che sono seriali ("per ogni $x$ esiste almeno un $y$ tale che $x\le y$, $\le$ è ora semplicemente un simbolo di relazione). Per queste, la proprietà antisimmetrica (o anche quella simmetrica) e quella transitiva insieme implicano la riflessività in modo ovvio. Ma prova a trovare un esempio di relazione $R$ su un insieme che, sebbene sia simmetrica (o antisimmetrica) e transitiva non è riflessiva.

La relazione $<$ è antisimmetrica, transitiva, ma non è riflessiva giusto?