Ordinamento di Sharkovsky
Ciao a tutti! Volevo chiedere il vostro parere sulla soluzione del seguente esercizio.
Si consideri l'ordinamento di Sharkovsky in $\mathbb{N}^\star:= \mathbb{N}\\{0\}$:
\[
1 < 2^2 < 2^3 < \dots < \dots < 2^3\cdot 7 < 2^3 \cdot 5 < 2^3 \cdot 3 < \dots < 2^2\cdot 7 < 2^2 \cdot 5 < 2^2 \cdot 3 < \dots < 7 < 5 < 3
\]
dove ho usato $<$ per indicare la relazione d'ordine perché il triangolo che volevo non funzionava (scelta infelice, ma spero si capisca lo stesso, non è da intendersi come il classico segno di "minore" ovviamente).
1) Provare che $<$ è un ordine totale.
2) $(\mathbb{N}^\star, <)$ è bene ordinato?
la mia soluzione è questa. 1) Sia $x\in\mathbb{N}^\star$, allora
- se $x$ pari, $x = (2k+1) 2^n$, $k\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^\star$
- se $x$ dispari, $x = 2k+1$, $k\in\mathbb{N}$
Presi ora $x, y\in\mathbb{N}^\star$, bisogna mostrare che è $x\diamond y$ oppure $y\diamond x$. Ho fatto tutti i casi: se $x, y$ sono pari ad esempio
\[
x = (2h+1) 2^n, h\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^\star\\
y = (2k+1) 2^m, k\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^\star
\]
e ho visto che vale la tesi per tutti le combinazioni di $h, k$ e $m, n$. Lo stesso nei casi in cui $x$ e $y$ siano uno pari e uno dispari o entrambi dispari (c'è meno lavoro).
2) Io direi che $(\mathbb{N}^\star, <)$ non è ben ordinato, in quanto il suo sottoinsieme
\[
A = \{ 2k+1: k\in\mathbb{N}^\star\} \ne \emptyset
\]
composto dai numeri naturali dispari strettamente maggiori di $1$, non ammette minimo secondo la relazione $<$. Infatti, per ogni $\bar{a}= 2\bar{k}+1\in A$ esiste $a\in A$ tale che $a < \bar{a}$, basta prendere $a = 2k+1$ con $k >\bar{k}$.
La mia soluzione, anche se fosse giusta, è sicuramente poco elegante ma non mi veniva in mente altro per ora
. Spero di non aver sparato troppe cavolate e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto! 
Si consideri l'ordinamento di Sharkovsky in $\mathbb{N}^\star:= \mathbb{N}\\{0\}$:
\[
1 < 2^2 < 2^3 < \dots < \dots < 2^3\cdot 7 < 2^3 \cdot 5 < 2^3 \cdot 3 < \dots < 2^2\cdot 7 < 2^2 \cdot 5 < 2^2 \cdot 3 < \dots < 7 < 5 < 3
\]
dove ho usato $<$ per indicare la relazione d'ordine perché il triangolo che volevo non funzionava (scelta infelice, ma spero si capisca lo stesso, non è da intendersi come il classico segno di "minore" ovviamente).
1) Provare che $<$ è un ordine totale.
2) $(\mathbb{N}^\star, <)$ è bene ordinato?
la mia soluzione è questa. 1) Sia $x\in\mathbb{N}^\star$, allora
- se $x$ pari, $x = (2k+1) 2^n$, $k\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^\star$
- se $x$ dispari, $x = 2k+1$, $k\in\mathbb{N}$
Presi ora $x, y\in\mathbb{N}^\star$, bisogna mostrare che è $x\diamond y$ oppure $y\diamond x$. Ho fatto tutti i casi: se $x, y$ sono pari ad esempio
\[
x = (2h+1) 2^n, h\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^\star\\
y = (2k+1) 2^m, k\in\mathbb{N}, n\in\mathbb{N}^\star
\]
e ho visto che vale la tesi per tutti le combinazioni di $h, k$ e $m, n$. Lo stesso nei casi in cui $x$ e $y$ siano uno pari e uno dispari o entrambi dispari (c'è meno lavoro).
2) Io direi che $(\mathbb{N}^\star, <)$ non è ben ordinato, in quanto il suo sottoinsieme
\[
A = \{ 2k+1: k\in\mathbb{N}^\star\} \ne \emptyset
\]
composto dai numeri naturali dispari strettamente maggiori di $1$, non ammette minimo secondo la relazione $<$. Infatti, per ogni $\bar{a}= 2\bar{k}+1\in A$ esiste $a\in A$ tale che $a < \bar{a}$, basta prendere $a = 2k+1$ con $k >\bar{k}$.
La mia soluzione, anche se fosse giusta, è sicuramente poco elegante ma non mi veniva in mente altro per ora
. Spero di non aver sparato troppe cavolate e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Mi sembra corretto, per il punto ii) nota che tutti gli insiemi infiniti $A \subset \{(2n+1)2^k | n \in N^\star\}$ con $k \in N$ non ammettono minimo.
Ciao Marco!! Grazie infinite per la risposta e per la ottima osservazione 
Non è sufficiente notare che questo ordinamento è il lessicografico sulle coppie {numero dispari, potenza di due}?
Ciao Killing_buddha ! Purtroppo sono troppo ignorante per capire quello che dici non ho mai sentito il concetto di ordinamento lessicografico, chiedo scusa, abbiate pazienza.
non ho mai sentito il concetto di ordinamento lessicografico, chiedo scusa, abbiate pazienza.
Ma no, è solo l'ordine alfabetico ... 
ahahah ecco, grazie axpgn e osservare sta cosa ci permettere di rispondere a entrambe le domande? 
e osservare sta cosa ci permettere di rispondere a entrambe le domande?
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