Opratori chiusi sull'insieme $L^2(RR)$
Sia $g:RR->RR$ una funzione misurabile, $D={f \in L^2(RR)| fg \in L^2(RR)}\sub L^2(RR)$ e $T:D-> L^2(RR)$ tale che $Tf:=fg$.
(i) Si mostri che $||(T-\lambda)f||_2>=|Im \lambda|*||f||_2, AA f\in D, \lambda \in CC$
(ii) Sia $lambda \in CC-RR.$ Si mostri che l'operatore $T-\lambda$ è biiettivo e che l'inversa $(T-\lambda)^(-1)$ è limitata. Calcolare l'inversa $(T-\lambda)^(-1)$ in questo caso. Mostrare che sia $T-\lambda$ che $T$ sono operatori chiusi.
(i) Si mostri che $||(T-\lambda)f||_2>=|Im \lambda|*||f||_2, AA f\in D, \lambda \in CC$
(ii) Sia $lambda \in CC-RR.$ Si mostri che l'operatore $T-\lambda$ è biiettivo e che l'inversa $(T-\lambda)^(-1)$ è limitata. Calcolare l'inversa $(T-\lambda)^(-1)$ in questo caso. Mostrare che sia $T-\lambda$ che $T$ sono operatori chiusi.
Risposte
Ancora non mi sono dedicata al secondo punto, ma sicuramente ci saranno di mezzo il teorema del grafo chiuso e i suoi corollari...
Per iniziare vorrei chiedervi una mano sulla prima richiesta, io ho iniziato così:
$||(T-\lambda)f||_2^2 = int_RR (fg-\lambda f)^2 = int_RR f^2(g^2-2\lambda g + \lambda^2)$
Vorrei arrivare a dire che $int_RR f^2(g^2-2\lambda g + \lambda^2)>= int_RR f^2 * \lambda^2$, ma come?
Forse è una sciocchezza, ma se qualcosa potesse aiutarmi sarebbe molto gentile! :)
Per iniziare vorrei chiedervi una mano sulla prima richiesta, io ho iniziato così:
$||(T-\lambda)f||_2^2 = int_RR (fg-\lambda f)^2 = int_RR f^2(g^2-2\lambda g + \lambda^2)$
Vorrei arrivare a dire che $int_RR f^2(g^2-2\lambda g + \lambda^2)>= int_RR f^2 * \lambda^2$, ma come?
Forse è una sciocchezza, ma se qualcosa potesse aiutarmi sarebbe molto gentile! :)
"blunotte":
Ancora non mi sono dedicata al secondo punto, ma sicuramente ci saranno di mezzo il teorema del grafo chiuso e i suoi corollari...
Per iniziare vorrei chiedervi una mano sulla prima richiesta, io ho iniziato così:
$||(T-\lambda)f||_2^2 = int_RR (fg-\lambda f)^2 = int_RR f^2(g^2-2\lambda g + \lambda^2)$
Vorrei arrivare a dire che $int_RR f^2(g^2-2\lambda g + \lambda^2)>= int_RR f^2 * \lambda^2$, ma come?
Forse è una sciocchezza, ma se qualcosa potesse aiutarmi sarebbe molto gentile!
Mi sembra di capire che $g$ è una funzione a valori reali (mentre $\lambda$ è complesso e $f$ "ragionevolmente"
va presa a valori complessi).
Allora $|fg-\lambda f|^2=|f|^2|g-\lambda|^2=|f|^2( (Re(g-\lambda) )^2+(Im(\lambda) )^2\geq |f|^2 (Im(\lambda))^2$
Grazie! Sempre gentilissimo! :)
Per il secondo punto: innanzitutto $(T-\lambda)$ è lineare in quanto $(T-\lambda)(f+h)=g(f+h)-\lambda(f+g)=gf-\lambda f +gh-\lambda h= (T-\lambda)f+(T-\lambda)h$ e $(T-\lambda)(\alpha f)=g(\alpha f)-\lambda (\alpha f)= \alpha(gf-\lambda)= \alpha (T-\lambda)(f)$.
$T$ è iniettiva in quanto: $(T-\lambda)f=0$ (la funzione nulla) $<=> gf-\lambdaf=0 <=> f(g-\lambda)=0 <=> g-\lambda=0$ o $ f=0$. Il primo caso è impossibile in quanto $\lambda \in CC-RR$ mentre $g$ è a valori reali. Perciò $T$ è iniettiva.
Ora ho un dubbio: devo dimostrare la suriettività... la domanda è: $T-\lambda:D->L^2(RR)$ oppure $T-\lambda:D->L^2(CC)$?
In ogni caso come faccio a dimostrare che è suriettiva?
Per il secondo punto: innanzitutto $(T-\lambda)$ è lineare in quanto $(T-\lambda)(f+h)=g(f+h)-\lambda(f+g)=gf-\lambda f +gh-\lambda h= (T-\lambda)f+(T-\lambda)h$ e $(T-\lambda)(\alpha f)=g(\alpha f)-\lambda (\alpha f)= \alpha(gf-\lambda)= \alpha (T-\lambda)(f)$.
$T$ è iniettiva in quanto: $(T-\lambda)f=0$ (la funzione nulla) $<=> gf-\lambdaf=0 <=> f(g-\lambda)=0 <=> g-\lambda=0$ o $ f=0$. Il primo caso è impossibile in quanto $\lambda \in CC-RR$ mentre $g$ è a valori reali. Perciò $T$ è iniettiva.
Ora ho un dubbio: devo dimostrare la suriettività... la domanda è: $T-\lambda:D->L^2(RR)$ oppure $T-\lambda:D->L^2(CC)$?
In ogni caso come faccio a dimostrare che è suriettiva?
"blunotte":
Grazie! Sempre gentilissimo!
Per il secondo punto: innanzitutto $(T-\lambda)$ è lineare in quanto $(T-\lambda)(f+h)=g(f+h)-\lambda(f+g)=gf-\lambda f +gh-\lambda h= (T-\lambda)f+(T-\lambda)h$ e $(T-\lambda)(\alpha f)=g(\alpha f)-\lambda (\alpha f)= \alpha(gf-\lambda)= \alpha (T-\lambda)(f)$.
$T$ è iniettiva in quanto: $(T-\lambda)f=0$ (la funzione nulla) $<=> gf-\lambdaf=0 <=> f(g-\lambda)=0 <=> g-\lambda=0$ o $ f=0$. Il primo caso è impossibile in quanto $\lambda \in CC-RR$ mentre $g$ è a valori reali. Perciò $T$ è iniettiva.
Ora ho un dubbio: devo dimostrare la suriettività... la domanda è: $T-\lambda:D->L^2(RR)$ oppure $T-\lambda:D->L^2(CC)$?
In ogni caso come faccio a dimostrare che è suriettiva?
Dire i che lo spazio in cui si ambienta il problema è $L^2(RR,CC)$ (un colpo al cerchio e uno alla botte
)Con questo intendo le funzioni $F:RR\to CC$, a quadrato sommabile (definite al solito a meno di quasi ovunque).
Per la surgettività la cosa più ovvia mi sembra il cercare di scrivere la funzione inversa:
$f_1=(T-\lambda I)f \Leftrightarrow f_1(x)=f(x)(g(x)-\lambda)\Leftrightarrow f(x)=\frac{f_1(x)}{g(x)-\lambda}$
Nota che il denominatore non si annulla in quanto la sua parte immaginaria è diversa da zero.
Non dovrebbe essere difficile vedere che se $f_1\inL^2$, allora la $f$ definita sopra è in $L^2$ e che
viene mandata in $f_1$ da $T-\lambda I$.
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