Operazioni tra funzioni: Cosa si può dire a riguardo?
Ho vari esercizi sulle operazioni tra funzioni, però mi sono un pò bloccato, magari ve li rirpongono e potete darmi qualche dritta.
La traccia del primo esercizio dice:
"Siano $f$ e $g$ funzioni pari (nei propri domini), Cosa si può dire sulle funzioni $f+g, f-g, f**g, f/g, fog$ ?"
Essendo ancora agli inizi e non conoscendo molte funzioni pari ho scelto le uniche due che mi venivano in mente:
$f=$ Funzione costante, del tipo $y=c$
$g=$ valore assoluto, che noi sappiamo che nel I quadrante assume l'equazione $y=x$ e nel II quadrante $y=-x$
Ricordiamoci cosa vuol dire funzione pari, ovvero che:
1) $dom(f)$ è simmetrico rispetto all'origine
2) $f(-x)=f(x) AAx in dom(f)$
Ora però, essendo il valore assoluto definito con due equazioni diverse, quando devo fare le operazioni tra funzioni come mi comporto?
Oppure quale potrebbe essere un'altra funzione pari, che magari mi sfugge, ma molto base e che sicuramente avrò fatto?
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
La traccia del primo esercizio dice:
"Siano $f$ e $g$ funzioni pari (nei propri domini), Cosa si può dire sulle funzioni $f+g, f-g, f**g, f/g, fog$ ?"
Essendo ancora agli inizi e non conoscendo molte funzioni pari ho scelto le uniche due che mi venivano in mente:
$f=$ Funzione costante, del tipo $y=c$
$g=$ valore assoluto, che noi sappiamo che nel I quadrante assume l'equazione $y=x$ e nel II quadrante $y=-x$
Ricordiamoci cosa vuol dire funzione pari, ovvero che:
1) $dom(f)$ è simmetrico rispetto all'origine
2) $f(-x)=f(x) AAx in dom(f)$
Ora però, essendo il valore assoluto definito con due equazioni diverse, quando devo fare le operazioni tra funzioni come mi comporto?
Oppure quale potrebbe essere un'altra funzione pari, che magari mi sfugge, ma molto base e che sicuramente avrò fatto?
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
Risposte
Basta che tu guardi alle funzioni trigonometriche: tra di esse ci sono funzioni pari (ma anche tante dispari).
Un classico esempio di funzione pari è $f: RR -> RR: x->x^2$.
Per quanto riguarda la funzione col valore assoluto, è sufficiente che tu la spezzi separando il caso $x>=0$ dal caso $x<0$
ciao
Un classico esempio di funzione pari è $f: RR -> RR: x->x^2$.
Per quanto riguarda la funzione col valore assoluto, è sufficiente che tu la spezzi separando il caso $x>=0$ dal caso $x<0$
ciao
Scusa Neptune, ma non potevi riutilizzare questa discussione qui?
La prossima volta, cerca di non duplicare thread simili.
La prossima volta, cerca di non duplicare thread simili.
Scusatemi per il thread doppio, mi ero proprio dimenticato che avevo già trattato parzialmente l'argomento per via della lezione scorsa.
La somma tra valore assoluto e funzione costante di valore $c$, in pratica dovrebbe traslarmi "la V" tracciata dal valore assoluto della quantità $c$ sull'asse delle ordinate, giusto? idem per la sottrazione? (poi a seconda del valore di $c$, se positivo o negativo, si alza o si abbassa).
Inoltre essendo ambedue definite in tutto $RR$ anche le operazioni di somma, sottrazione e prodotto saranno definite in tutto $RR$, giusto?
La somma tra valore assoluto e funzione costante di valore $c$, in pratica dovrebbe traslarmi "la V" tracciata dal valore assoluto della quantità $c$ sull'asse delle ordinate, giusto? idem per la sottrazione? (poi a seconda del valore di $c$, se positivo o negativo, si alza o si abbassa).
Inoltre essendo ambedue definite in tutto $RR$ anche le operazioni di somma, sottrazione e prodotto saranno definite in tutto $RR$, giusto?
scusa ma non credo che il tuo esercizio sia: scegli due funzoni pari qualsiasi e guarda come sono $f+g$ ecc.
devi dimostrare relazioni generali tra le funzioni pari e la somma, differenza ecc. di funzioni pari.
c'è una bella differenza!
devi dimostrare relazioni generali tra le funzioni pari e la somma, differenza ecc. di funzioni pari.
c'è una bella differenza!
E come faccio a dimostrarlo in generale? cioè dovrei crearmi da me la dimostrazione? non ne sarei in grado.
questo è un bel problema 
tu provaci applica la definizione e vedi se riesci a trarne qualcosa, in fondo sulle funzioni pari non è che sappiamo chissà cosa, semplicemente
se $f$ è pari vuol dire che $f(-x)=f(x)$.
dai provo a farti vedere il primo:
abbiamo $f,g$ pari quindi vuol dire che $f(-x)=f(x)$ e anche $g(-x)=g(x)$. diciamo che il dominio è $RR$ per entrambe, per semplicità.
noi vogliamo studiare la parità della funzione $h=f+g$. notiamo che il dominio di $h$ è l'intersezione del dominio di $f$ con quello di $g$, quindi tutto $RR$.
calcoliamo allora $h(-x)$ e vediamo se dipende in qualche modo da $h(x)$ è chiaro?
$h(-x)=f(-x)+g(-x)$ per definizione. ma noi per ipotesi sappiamo che $f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)$ e quindi $f(x)+g(x)=h(x)$ per come abbiamo definito $h$.
da cui $h(-x)=h(x)$ e quindi $f+g$ è pari a sua volta.
dai prova a fare qualcuno degli altri.
tu provaci applica la definizione e vedi se riesci a trarne qualcosa, in fondo sulle funzioni pari non è che sappiamo chissà cosa, semplicemente
se $f$ è pari vuol dire che $f(-x)=f(x)$.
dai provo a farti vedere il primo:
abbiamo $f,g$ pari quindi vuol dire che $f(-x)=f(x)$ e anche $g(-x)=g(x)$. diciamo che il dominio è $RR$ per entrambe, per semplicità.
noi vogliamo studiare la parità della funzione $h=f+g$. notiamo che il dominio di $h$ è l'intersezione del dominio di $f$ con quello di $g$, quindi tutto $RR$.
calcoliamo allora $h(-x)$ e vediamo se dipende in qualche modo da $h(x)$ è chiaro?
$h(-x)=f(-x)+g(-x)$ per definizione. ma noi per ipotesi sappiamo che $f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)$ e quindi $f(x)+g(x)=h(x)$ per come abbiamo definito $h$.
da cui $h(-x)=h(x)$ e quindi $f+g$ è pari a sua volta.
dai prova a fare qualcuno degli altri.
Ma quello che dici che noi "sappiamo per ipotesi" in realtà non lo sappiamo per certo per le proprietà delle equivalenze?
Del resto, la sottrazione non dovrebbe uscire quasi uguale cambiando giusto il segno?
Del resto, la sottrazione non dovrebbe uscire quasi uguale cambiando giusto il segno?
"Neptune":
Ma quello che dici che noi "sappiamo per ipotesi" in realtà non lo sappiamo per certo per le proprietà delle equivalenze?
Del resto, la sottrazione non dovrebbe uscire quasi uguale cambiando giusto il segno?
Attento a non fare confusione. Noi sappiamo per ipotesi che $f(-x) = f(x)$ e parimenti per $g(x)$. Questa si intende l'ipotesi($f$ e $g$ sono funzioni pari).
Per questo motivo l'equivalenza risulta verificata, non c'entrano le proprietà delle equivalenze.
Dimostrare che la cosa vale per un caso limite che scegli tu arbitrariamente, non è sufficiente a dimostrare che sarà così per tutte le funzioni pari, ed ecco perchè devi elaborare il caso generale. Per la sottrazione, operi in modo simile, e per le altre devi applicare se non lo stesso ragionamento, lo stesso metodo.
Guardavo bene sia la sottrrazione che il prodotto, ma essendo in tutti e due i casi lo stesso dominio della somma praticamente si applica la stessa identica dimostrazione dell'addizione senza cambiare molto no?
Per l'inverso, se in entrambi i casi prendo il dominio $RR$ devo solo dire che la funzione sotto la linea di frazione deve escludere lo $0$ e quindi il dominio sarà $RR^**$ ma non ci dovrebbero essere molte differenze o sbaglio? ora comunque provo a farla.
Arrivato a dire al passo in cui dico che quindi $h(-x) = (f(-x))/(g(-x)) = (f(x))/(g(x)) = h(x)$ posso quindi dire che anche la divisione di due funzioni pari è pari a sua volta?
Per le funzioni dispari ora vedo cosa mi esce. Ah e devo vedere, per l'operazione cerchietto di composizione invece cosa mi esce.
Per l'inverso, se in entrambi i casi prendo il dominio $RR$ devo solo dire che la funzione sotto la linea di frazione deve escludere lo $0$ e quindi il dominio sarà $RR^**$ ma non ci dovrebbero essere molte differenze o sbaglio? ora comunque provo a farla.
Arrivato a dire al passo in cui dico che quindi $h(-x) = (f(-x))/(g(-x)) = (f(x))/(g(x)) = h(x)$ posso quindi dire che anche la divisione di due funzioni pari è pari a sua volta?
Per le funzioni dispari ora vedo cosa mi esce. Ah e devo vedere, per l'operazione cerchietto di composizione invece cosa mi esce.
Ti dico subito che in effetti tutte le operazioni aritmetiche sono molto semplici da controllare,
il problema sarà con la composizione tra funzioni, fai attenzione perchè il metodo non potrà essere ovviamente lo stesso.
il problema sarà con la composizione tra funzioni, fai attenzione perchè il metodo non potrà essere ovviamente lo stesso.
"blackbishop13":
Ti dico subito che in effetti tutte le operazioni aritmetiche sono molto semplici da controllare,
il problema sarà con la composizione tra funzioni, fai attenzione perchè il metodo non potrà essere ovviamente lo stesso.
ma quindi posso correttamente affermare che tutte le operazioni aritmetiche se le funzioni sono pari restono pari, se sono dispari restano dispari, se sono una pari ed una dispari invece non si può dir nulla?
se lo hai dimostrato, puoi affermare quello che vuoi, comunque direi che va bene per somma, sottrazione e prodotto
mentre per la divisione bisogna porre delle condizioni sulla funzione dividendo ovvero eliminare i punti dove si annulla, ma con questa piccola accortezza si sistema tutto.
per la composizione cosa dici?
prova a postare i passaggi comunque, così possiamo vedere se hai capito e darti una mano.
mentre per la divisione bisogna porre delle condizioni sulla funzione dividendo ovvero eliminare i punti dove si annulla, ma con questa piccola accortezza si sistema tutto.
per la composizione cosa dici?
prova a postare i passaggi comunque, così possiamo vedere se hai capito e darti una mano.
"blackbishop13":
se lo hai dimostrato, puoi affermare quello che vuoi, comunque direi che va bene per somma, sottrazione e prodotto
mentre per la divisione bisogna porre delle condizioni sulla funzione dividendo ovvero eliminare i punti dove si annulla, ma con questa piccola accortezza si sistema tutto.
per la composizione cosa dici?
prova a postare i passaggi comunque, così possiamo vedere se hai capito e darti una mano.
Per la divisione, per il dove si annulla quindi sarebbe, nella nostra "dimostrazione generica" semplicemente nel punto in cui la funzione al denominatore diventa $0$, quindi basta restringere il dominio a $RR^**$ no?
La composizione sinceramente non saprei nemmeno come impostarla.
Ovvero prendiamo l'esempio delle due funzioni pari, ovvero sappiamo che $f(-x) = f(x)$
La nostra funzione "composta" sarà del tipo $h = FoG$ ovvero $h(-x) = F(G(-x))$ ma arrivato a questo punto non saprei come procedere per arrivare a qualsivoglia soluzione.
"Neptune":
Per la divisione, per il dove si annulla quindi sarebbe, nella nostra "dimostrazione generica" semplicemente nel punto in cui la funzione al denominatore diventa $0$, quindi basta restringere il dominio a $RR^**$ no?
questa cosa è un po' inquietante, non so se è una svista o se davvero è una grossa lacuna,domanda chiarificatrice:
se tu hai una funzione generica, definita da $RR$ in $RR$,
diciamo $f: RR to RR$, in quali punti $x$ del dominio si può avere che $f(x)=0$ ??
tu scrivendo così mi fai pensare che credi che ciò possa succedere solo per $x=0$
"blackbishop13":
[quote="Neptune"]
Per la divisione, per il dove si annulla quindi sarebbe, nella nostra "dimostrazione generica" semplicemente nel punto in cui la funzione al denominatore diventa $0$, quindi basta restringere il dominio a $RR^**$ no?
questa cosa è un po' inquietante, non so se è una svista o se davvero è una grossa lacuna,domanda chiarificatrice:
se tu hai una funzione generica, definita da $RR$ in $RR$,
diciamo $f: RR to RR$, in quali punti $x$ del dominio si può avere che $f(x)=0$ ??
tu scrivendo così mi fai pensare che credi che ciò possa succedere solo per $x=0$[/quote]
Probabilmente è una mia grossa lacuna, ma dov'è che la funzione si azzera in una divisione? non è solo dove si effettua una divisone per $0$? e dove altro sennò?
Stavo provando anche a fare il prodotto tra una funzione pari ed una dispari, non riesco però ad arrivare a nulla di concreto.
Ovvero dico che se $f$ è una funzione pari e $g$ è una funzione dispari allora:
1) $f(x) = f(-x)$ e 2) $g(-x) = -g(x)$
A questo punto dico che $h = f*g$
Quindi $h(-x) = f(-x) * g(-x)$
Ma per la 2) possiamo riscriverla come $h(-x) = f(-x) * (-g(x))$
Se moltiplico ambo i membri dell'uguaglianza per $-1$ ottengo
$-h(-x) = f(x) * g(x)$
Però qui mi blocco e non saprei come procedere. Posso dire qualcosa su $-h(-x)$? oppure sono totalmente fuori strada?
Ovvero dico che se $f$ è una funzione pari e $g$ è una funzione dispari allora:
1) $f(x) = f(-x)$ e 2) $g(-x) = -g(x)$
A questo punto dico che $h = f*g$
Quindi $h(-x) = f(-x) * g(-x)$
Ma per la 2) possiamo riscriverla come $h(-x) = f(-x) * (-g(x))$
Se moltiplico ambo i membri dell'uguaglianza per $-1$ ottengo
$-h(-x) = f(x) * g(x)$
Però qui mi blocco e non saprei come procedere. Posso dire qualcosa su $-h(-x)$? oppure sono totalmente fuori strada?
"Neptune":
$h = f*g$
...
ottengo $-h(-x) = f(x) * g(x)$
tu hai definito $h(x)=f(x)*g(x)$
poi trovi che $h(-x)=-f(x)*g(x)$
direi che un certo legame salta agli occhi
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo