Operazioni sui limiti
$ Lim_(x->0) (senx-x+2x^5)/(3x^3)=(Lim_(x->0) (senx-x+2x^5))/(Lim_(x->0) 3x^3)=(Lim_(x->0) x((senx)/x-1+2x^4))/(Lim_(x->0) (3x^3))=(Lim_(x->0) x (Lim_(x->0) ((senx)/x-1+2x^4)))/(Lim_(x->0) 3x^3)=(Lim_(x->0) x (Lim_(x->0) (senx)/x-Lim_(x->0)1+Lim_(x->0)2x^4))/(Lim_(x->0) 3x^3) $
sono giuste queste trasformazioni?
sono giuste queste trasformazioni?
Risposte
No, secondo me non sono corrette, a numeratore hai una differenza di infinitesimi $sinx-x $, per cui vengono coinvolti termini successivi al termine in $x $ di primo grado nello sviluppo in serie di $sinx$
$sinx=x-x^3/(3!)+o(x^3)$, sostituendo si ottiene
$lim_(x->0)(x-x^3/6-x)/(3x^3 )$ $=lim_(x->0)(-x^3/6)/(3x^3)=-1/18$, chiaramente ho trascurato tutti gli infinitesimi di ordine superiore a $3$ presenti a numeratore.
$sinx=x-x^3/(3!)+o(x^3)$, sostituendo si ottiene
$lim_(x->0)(x-x^3/6-x)/(3x^3 )$ $=lim_(x->0)(-x^3/6)/(3x^3)=-1/18$, chiaramente ho trascurato tutti gli infinitesimi di ordine superiore a $3$ presenti a numeratore.
ma le operazioni sui limiti affermano che ho ragione, ogni limite tra quelli scomposti esiste finito, quindi vuol dire che non ho capito come usare le operazioni sui limiti! non mi interessa risolvere quel limite, era un esempio tra tanti in cui avevo notato qualcosa che non andava, cosa sbaglio nelle operazioni sui limiti? cheers!
ma le operazioni sui limiti affermano che ho ragione, ogni limite tra quelli scomposti esiste finito, quindi vuol dire che non ho capito come usare le operazioni sui limiti! non mi interessa risolvere quel limite, era un esempio tra tanti in cui avevo notato qualcosa che non andava, cosa sbaglio nelle operazioni sui limiti? cheers!
Cerco di spiegarlo come meglio posso, in ogni caso apprezza lo sforzo, in quanto sono un dilettante in materia.
Allora, premetto che usare il limite notevole $lim_(x->0)(sinx/x)=1$, equivale a dire che per $x->0$ la funzione $x $ ed la funzione $sinx $ tendono ad essere uguali, si dice asintotici, e si denota con $sinx~x $, pertanto nell' intorno di $0$ posso sostituire approssimativamente ad $sinx $ la funzione $x $.
Ora se avessi avuto il seguente limite $(sinx+x+2x^5)/(3x^3)$ quello che hai fatto non sarebbe stato sbagliato hai giustamente sostituito ad $sinx $ il termine $x $, per cui si ottiene $lim_(x->0)(x+x+2x^5)/(3x^3)=lim(2x)/(3x^3)=infty $, Così
anche se avessi avuto $lim_(x->0)(sinx-x^2)/x=lim (x-x^2)/ x=limx/x=1$, Oppure $lim_(x->0)(sinx-3x)/(2x)=lim (x-3x)/(2x)=-1$,
La differenza tra i limiti sopra e quello che hai proposto
sta nel fatto che nel tuo e' presente la differenza $sinx-x $ Quindi
uno pensa di sostituire semplicemente $x $ ad $sinx $, ottenendo così $lim_(x->0)(x-x+2x^5)/(3x^3)=lim(2x^5)/(3x^3)=0$,
che e' un risultato falso, in quanto in realtà $sinx $ ha uno sviluppo asintotico più raffinato $sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+...... $ ed in questo specifico caso entrano in gioco i termini successivi, nel particolare il termine $-x^3/(3!)$, che nel rapporto determina l'esatto valore del limite , appunto $-1/(18) $
Morale della favola e' che nel caso del tuo limite l'uso del limite notevole $lim_(x->0)sinx/x=1$, cioe $sinx~x $, risulta insufficiente per arrivare alla soluzione , e necessità uno sviluppo asintotico più raffinato di $sinx $ , che consiste nell'uso
dello sviluppo in serie di taylor che vada oltre il primo termine in $x $.
Allora, premetto che usare il limite notevole $lim_(x->0)(sinx/x)=1$, equivale a dire che per $x->0$ la funzione $x $ ed la funzione $sinx $ tendono ad essere uguali, si dice asintotici, e si denota con $sinx~x $, pertanto nell' intorno di $0$ posso sostituire approssimativamente ad $sinx $ la funzione $x $.
Ora se avessi avuto il seguente limite $(sinx+x+2x^5)/(3x^3)$ quello che hai fatto non sarebbe stato sbagliato hai giustamente sostituito ad $sinx $ il termine $x $, per cui si ottiene $lim_(x->0)(x+x+2x^5)/(3x^3)=lim(2x)/(3x^3)=infty $, Così
anche se avessi avuto $lim_(x->0)(sinx-x^2)/x=lim (x-x^2)/ x=limx/x=1$, Oppure $lim_(x->0)(sinx-3x)/(2x)=lim (x-3x)/(2x)=-1$,
La differenza tra i limiti sopra e quello che hai proposto
sta nel fatto che nel tuo e' presente la differenza $sinx-x $ Quindi
uno pensa di sostituire semplicemente $x $ ad $sinx $, ottenendo così $lim_(x->0)(x-x+2x^5)/(3x^3)=lim(2x^5)/(3x^3)=0$,
che e' un risultato falso, in quanto in realtà $sinx $ ha uno sviluppo asintotico più raffinato $sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)+...... $ ed in questo specifico caso entrano in gioco i termini successivi, nel particolare il termine $-x^3/(3!)$, che nel rapporto determina l'esatto valore del limite , appunto $-1/(18) $
Morale della favola e' che nel caso del tuo limite l'uso del limite notevole $lim_(x->0)sinx/x=1$, cioe $sinx~x $, risulta insufficiente per arrivare alla soluzione , e necessità uno sviluppo asintotico più raffinato di $sinx $ , che consiste nell'uso
dello sviluppo in serie di taylor che vada oltre il primo termine in $x $.
si ma allora perche ci dicono che le operazione sui limiti funzionano sempre con limiti finiti?
Appunto, forse perche' come nel limite che hai proposto , intervengono funzioni come $sinx $ che hanno uno sviluppo polinomiale infinito!
Spero di non dire cose inesatte, che potrebbero confonderti le idee, aspettiamo il parere di qualcuno piu esperto!
Spero di non dire cose inesatte, che potrebbero confonderti le idee, aspettiamo il parere di qualcuno piu esperto!
Scusate se mi intrometto, neanche io sono esperto ma mi pare che abbia solamente messo una $x$ in evidenza senza ricorrere ad asintotici o a sviluppi... il limite alla fine non lo ha risolto quindi credo abbia fatto passaggi leciti 
ovviamente attendiamo pareri più esperti
ovviamente attendiamo pareri più esperti
Quella trasformazione coerente con le usuali operazioni algebriche fa perdere delle informazioni, e conduce ad un valore falsato del limite, comunque ripeto aspettiamo pareri piu autorevoli, ripeto io sono solo in profano in materia, non sono in grado di fornire certezze!
la stessa cosa succede con $ Lim_(x->0) (xe^x-(e^x-1))/x^2 $
se uso le operazioni sui limiti ottengo $ Lim_(x->0) e^x/x-(e^x-1)/x^2=Lim_(x->0) e^x/x-(e^x-1)/x 1/x=Lim_(x->0) e^x/x-1/x=Lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ma in realtà il risultato è $1/2 $
che tra l'altro non so come cavarlo fuori senza de l'hopital, e l'esercizio dice senza de l'hopital, lo so solo perche lo dato in pasto al software matematica, e il risultato è cosi anche con de l'hopital
se uso le operazioni sui limiti ottengo $ Lim_(x->0) e^x/x-(e^x-1)/x^2=Lim_(x->0) e^x/x-(e^x-1)/x 1/x=Lim_(x->0) e^x/x-1/x=Lim_(x->0) (e^x-1)/x=1$ma in realtà il risultato è $1/2 $
che tra l'altro non so come cavarlo fuori senza de l'hopital, e l'esercizio dice senza de l'hopital, lo so solo perche lo dato in pasto al software matematica, e il risultato è cosi anche con de l'hopital
E' lo stesso problema che ho illustrato negli esempi precedenti, $e^x$ e' una funzione che ha uno sviluppo polinomiale infinito, e a numeratore come puoi osservare il termine in $x$ si elide pertanto vengono coinvolti termini successivi ad esso, quindi non puoi procedere come hai fatto in quanto non consideri lo sviluppo polinomiale di $e^x$ che segue dopo il termine in $x$ ottenendo cosi un risultato falsato.
$lim_(x->0)(xe^x-e^x-1)/x^2$ $=(x(1+x+x^2/2)-(1+x+x^2/2)+1)/x^2$ $=lim_(x->0)(x+x^2+x^3/2-1-x-x^2/2+1)/x^2$ $=lim_(x->0)(x^2-x^2/2+x^3/2)/x^2$ $=lim_(x->0)(x^2/2)/x^2=lim_(x->0)x^2/(2x^2)=1/2$, che e' valore esatto del limite!
$lim_(x->0)(xe^x-e^x-1)/x^2$ $=(x(1+x+x^2/2)-(1+x+x^2/2)+1)/x^2$ $=lim_(x->0)(x+x^2+x^3/2-1-x-x^2/2+1)/x^2$ $=lim_(x->0)(x^2-x^2/2+x^3/2)/x^2$ $=lim_(x->0)(x^2/2)/x^2=lim_(x->0)x^2/(2x^2)=1/2$, che e' valore esatto del limite!
Non so se vi interessa ancora una risposta... ma ho visto degli errori.
1) Nel primo limite che hai proposto chiaramente il primo passaggio non e' consentito perche' condizione necessaria affinche' (il limite del rapporto e' il rapporto dei limiti) e' avere il limite del denominatore diverso da $0$.
2)nel secondo limite che hai proposto
tu dici che $Lim_(x->0) (e^x-1)/x 1/x=Lim_(x->0) 1/x$
ma questo non e' vero perche' condizione necessaria affinche' (il limite del prodotto e' il prodotto dei limiti) e' avere il limite dei fattori che esiste .
e in questo caso $Lim_(x->0) 1/x$ non esiste.
Quindi i teoremi che regolano "l'algebra dei limiti" non vengono contraddetti
1) Nel primo limite che hai proposto chiaramente il primo passaggio non e' consentito perche' condizione necessaria affinche' (il limite del rapporto e' il rapporto dei limiti) e' avere il limite del denominatore diverso da $0$.
2)nel secondo limite che hai proposto
"zerbo1000":
$ Lim_(x->0) e^x/x-(e^x-1)/x^2=Lim_(x->0) e^x/x-(e^x-1)/x 1/x=Lim_(x->0) e^x/x-1/x=Lim_(x->0) (e^x-1)/x=1 $
tu dici che $Lim_(x->0) (e^x-1)/x 1/x=Lim_(x->0) 1/x$
ma questo non e' vero perche' condizione necessaria affinche' (il limite del prodotto e' il prodotto dei limiti) e' avere il limite dei fattori che esiste .
e in questo caso $Lim_(x->0) 1/x$ non esiste.
Quindi i teoremi che regolano "l'algebra dei limiti" non vengono contraddetti
grazie Wilde, è questo che cercavo! thanks!! 
"Wilde":
Non so se vi interessa ancora una risposta... ma ho visto degli errori.
1) Nel primo limite che hai proposto chiaramente il primo passaggio non e' consentito perche' condizione necessaria affinche' (il limite del rapporto e' il rapporto dei limiti) e' avere il limite del denominatore diverso da $0$.
2)nel secondo limite che hai proposto
[quote="zerbo1000"] $ Lim_(x->0) e^x/x-(e^x-1)/x^2=Lim_(x->0) e^x/x-(e^x-1)/x 1/x=Lim_(x->0) e^x/x-1/x=Lim_(x->0) (e^x-1)/x=1 $
tu dici che $Lim_(x->0) (e^x-1)/x 1/x=Lim_(x->0) 1/x$
ma questo non e' vero perche' condizione necessaria affinche' (il limite del prodotto e' il prodotto dei limiti) e' avere il limite dei fattori che esiste .
e in questo caso $Lim_(x->0) 1/x$ non esiste.
Quindi i teoremi che regolano "l'algebra dei limiti" non vengono contraddetti[/quote]
INTENDI CHE ESISTE FINITO IL LIMITE? Perchè (1/x) tende a infinito...
"zerbo1000":
Perchè (1/x) tende a infinito...
Questo dipende dalla notazione che si voglia adoperare... per esempio, secondo l'impostazione del mio professore si ha che:
$lim_(x->0^-)1/x=-oo ne lim_(x->0^+)1/x=+oo$ e pertanto $lim_(x->0)1/x = negEE$
esattamente Magma...
Ma non e' una notazione del tuo prof, e' cosi' per tutti (a meno che no lo si dica all'inizio della trattazione).
Ma non e' una notazione del tuo prof, e' cosi' per tutti (a meno che no lo si dica all'inizio della trattazione).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo