Operazioni e proprietà "o piccolo"

[FELPONE]

Salve ho un dubbio sulle proprietà degli "o piccolo" per quanto riguarda l'elevamento a potenza: $ o(x^(2) )^3 $ è uguale ad $ o(x^(6)) $ ?Quindi elevo come una normale potenza?

Posto anche questo prodotto notevole (quadrato di binomio) svolto da me per farvi verificare la correttezza:

$ (-(x^3)/6 + o(x^4)) ^2=((x^6)/36+o(x^7)+o(x^8))=x^6/36+o(x^7) $

[Seneca1]

"FELPONE":Salve ho un dubbio sulle proprietà degli "o piccolo" per quanto riguarda l'elevamento a potenza: $ o(x^(2) )^3 $ è uguale ad $ o(x^(6)) $ ?Quindi elevo come una normale potenza?

Posto anche questo prodotto notevole (quadrato di binomio) svolto da me per farvi verificare la correttezza:

$ (-(x^3)/6 + o(x^4)) ^2=((x^6)/36+o(x^7)+o(x^8))=x^6/36+o(x^7) $

Utilizza la funzione "cerca"... http://www.matematicamente.it/forum/sulle-proprieta-dell-o-piccolo-t49863.html

[FELPONE]

Ho visto ma sulle potenze degli o piccolo non c'è niente.

[Mathcrazy]

"FELPONE":Salve ho un dubbio sulle proprietà degli "o piccolo" per quanto riguarda l'elevamento a potenza: $ o(x^(2) )^3 $ è uguale ad $ o(x^(6)) $ ?Quindi elevo come una normale potenza?

Posto anche questo prodotto notevole (quadrato di binomio) svolto da me per farvi verificare la correttezza:

$ (-(x^3)/6 + o(x^4)) ^2=((x^6)/36+o(x^7)+o(x^8))=x^6/36+o(x^7) $

Si puoi fare tutto ciò.
Algebricamente, puoi lavorare come vuoi con gli o-piccolo, ad esempio se devi sviluppare $f(x)=(senx)^2$ per i primi ordini..

[FELPONE]

OK.Questi o piccolo mi creano un pò di perplessità soprattutto quando mi trovo a calcolare i limiti. Per esempio nello svolgimento di un limite sono arrivato a questo punto: $(x^4/3+o(x^5))/(x^4+x^5+o(x^5))$ e mi sono bloccato. Se al denominatore vi fosse stato solo x^5 avrei saputo semplificare con x^4 del denominatore, ma così proprio non riesco (è proprio una lacuna di base).

[Mathcrazy]

"FELPONE":OK.Questi o piccolo mi creano un pò di perplessità soprattutto quando mi trovo a calcolare i limiti. Per esempio nello svolgimento di un limite sono arrivato a questo punto: $(x^4/3+o(x^5))/(x^4+x^5+o(x^5))$ e mi sono bloccato. Se al denominatore vi fosse stato solo x^5 avrei saputo semplificare con x^4 del denominatore, ma così proprio non riesco (è proprio una lacuna di base).

Si FELPONE però se la $x->0$, al numeratore e denominatore hai degli infinitesimi.
Quindi puoi trascurare tutti gli infinitesimi di ordine maggiore *.
Quindi al numeratore puoi trascurare $o(x^5)$ (che è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto a $x^4/3$)
Al denominatore invece puoi trascurare $x^5$ e $o(x^5)$ (poiché sono infinitesimi di ordine maggiore rispetto a $x^4$).

Il limite pertanto si semplifica notevolmente:

$lim_(x->0) (x^4/3+o(x^5))/(x^4+x^5+o(x^5))$ $=$ $lim_(x->0) (x^4/3)/(x^4)$
Ora semplifica $x^4$ e otteniamo il risultato del limite: $1/3$.

Generalmente quando si usano gli sviluppi di Taylor si arriva a questo genere di conclusione; ecco perchè sono molto comodi.


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* Un po di teoria non fa mai male :
Ti cito solo il principio di sostituzione degli infiniti/infinitesimi.

Siano $f , f_1 , g , g_1$ infiniti (rispettivamente infinitesimi) in $x_0 in R$ e tali che l'ordine di $f$ è maggiore dell'ordine di $f_1$ e l'ordine di $g$ è maggiore dell'ordine di $g_1$.

Allora se $EE lim_(x->x_0) (f(x)+f_1(x))/(g(x)+g_1(x)) = L$ $hArr$ $EE lim_(x->x_0) (f(x))/(g(x)) = L$ (rispettivamente,nel caso di infinitesimi: $EE lim_(x->x_0) (f_1(x))/(g_1(x)) = L$)

Cioè in parole povere tra gli infinitesimi puoi trascurare quelli di ordine maggiore; mentre tra gli infiniti quelli di ordine minore.

Questo principio si può facilmente dimostrare, ma,se sei interessato, penso che su ogni buon libro di analisi troverai la dimostrazione!

[jinx92]

Ma per quanto riguarda gli o piccolo o(1/x)*o(x^2)=0(x) se x tende ad infinito ha senso lo stesso???

Perchè io quando voglio sostituire a^x*x^k con a^x devo fare + o(a^x)