Operazioni con i differenziali

[Ingenium1]

Buongiorno a tutti.
Spero di riuscire a porre la domanda in modo opportuno, in modo da non farla sembrare una cosa stupida.
Spesso in fisica, si maneggiano alcune quantità per scriverle in funzioni di altre.
In particolare, trovandosi in presenza di derivate, si può avere l'esigenza di scrivere la variazione di una quantità in funzione della variazione di un'altra quantità, ad esempio rispetto ad una stessa variabile.
In alcune dimostrazioni, spesso non rigorose, vengono fatte operazioni tra differenziali, i quali vengono trattati come vere e proprie "quantità", seppur piccole, sulle quali fare moltiplicazioni e divisioni.
Esempio:

y' = dy/dx = 1/x'

oppure

posto ad esempio ds/dt= v(t), e dr/dt=v(t), trovandosi di fronte a una relazione del tipo: dr/ds la si riscrive come
dr/ds= (dr/dt)(dt/ds)=v(t)/v(t)=1. (esempio tratto da una dimostrazione di fisica I riguardante l'ascissa curvilinea).

Nell'ultimo esempio il dt viene moltiplicato e diviso come una quantità algebrica.
La mia domanda è: quando è possibile fare ciò?
Spero di essere stato chiaro, e di aver posto una domanda interessante. Grazie

[gugo82]

"Ingenium":Spesso in fisica, si maneggiano alcune quantità per scriverle in funzioni di altre.
In particolare, trovandosi in presenza di derivate, si può avere l'esigenza di scrivere la variazione di una quantità in funzione della variazione di un'altra quantità, ad esempio rispetto ad una stessa variabile.
In alcune dimostrazioni, spesso non rigorose, vengono fatte operazioni tra differenziali, i quali vengono trattati come vere e proprie "quantità", seppur piccole, sulle quali fare moltiplicazioni e divisioni.
Esempio:

y' = dy/dx = 1/x'

oppure

posto ad esempio ds/dt= v(t), e dr/dt=v(t), trovandosi di fronte a una relazione del tipo: dr/ds la si riscrive come
dr/ds= (dr/dt)(dt/ds)=v(t)/v(t)=1. (esempio tratto da una dimostrazione di fisica I riguardante l'ascissa curvilinea).

Nell'ultimo esempio il dt viene moltiplicato e diviso come una quantità algebrica.
La mia domanda è: quando è possibile fare ciò?

Mai.

Le tecniche di manipolazione algebrica dei differenziali sono solo versioni abbreviate di calcoli più complessi.
Ad esempio, la relazione:
\[
\frac{\text{d} r}{\text{d} t}=\frac{\text{d} s}{\text{d} t} \quad \Rightarrow \quad \frac{\text{d} r}{\text{d} s} = 1
\]
provata come trovi sui testi di Fisica, presuppone che la funzione \(s(t)\) sia invertibile, che la sua inversa \(t(s)\) sia derivabile (usando il teorema della funzione inversa) e che si possa derivare la funzione composta tra \(r(t)\) e l'inversa \(t(s)\). In particolare, la versione lunga della dimostrazione precedente è: supposto che \(t(s)\) sia derivabile si ha:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} s} t(s) = \frac{1}{s^\prime (t(s))}
\]
per il teorema di derivazione della funzione inversa; quindi è:
\[
\frac{\text{d} }{\text{d} s} r(s) = \frac{\text{d} }{\text{d} s} r(t(s)) = r^\prime (t(s))\ \frac{\text{d}}{\text{d} s} t(s) = \frac{r^\prime (t(s))}{s^\prime (t(s))} = 1
\]
per il teorema della derivazione della funzione composta.
Come vedi, la versione lunga è più complicata. Perciò i testi di Fisica tendono a semplificare i calcoli usando una manipolazione algebrica dei differenziali (cosa che fanno anche i matematici seri quando la via lunga è computazionalemente gravosa).

Quindi, ogniqualvolta ti trovi davanti a manipolazioni simili, dovresti cercare di capire quali sono i teoremi di Analisi che vengono coinvolti ed almeno immaginare come si possa ottenere una dimostrazione corretta del risultato usando tali teoremi.

[Ingenium1]

Come immaginavo, grazie mille per la risposta veloce ed esauriente.