Operazioni con estremo inferiore/superiore

[mario998]

Ciao! Sto cercando di svolgere la dimostrazione della seguente:
Siano \(A\) e \(B\) sottoinsiemi di \( \mathbb{R^+} \), mostrare che si ha \( inf(AB) = infA \cdot inf(B) \), dove \( AB = \{ ab | a \in A, b\in B \} \).
Allora, io ho prima di tutto fatto vedere che \( inf(A) \geq 0\) e \(inf(B)\geq 0\): infatti se fosse \( inf(A)< 0\) allora, per la proprietà caratteristica dell'estremo inferiore, \( \exists x \in A | x<0 \), ma ciò è assurdo perché tutti gli elementi di \(A\) sono positivi o nulli, allo stesso modo si fa per \(inf(B)\).
Ora, detto \( \alpha = inf(A)\) e \(\beta = inf(B)\), prendiamo \( \gamma_{1} >\alpha\), si ha per la seconda proprietà caratt. dell'estremo inferiore che \( \exists x\in A | x<\gamma_{1} \)
Allo stesso modo, prendendo \( \gamma_{2}> \beta \), si trova che \(\exists y\in B | y<\gamma_{2}\)
Dato che i membri di queste due disuguaglianze sono tutti positivi o nulli, posso moltiplicare membro a membro ottenendo.
\( xy< \gamma_{1} \gamma_{2} \)
Quindi \( \alpha \beta\) è l'estremo inferiore di \(AB\) perché :
è un minorante, infatti da \(\alpha \leq a\) \( \forall a\in A\) e \(\beta \leq b\) \( \forall b\in B \), si ottiene \( \alpha \beta \leq ab\) \(\forall ab \in AB \) )
E poi, come visto sopra, soddisfa la seconda proprietà caratteristica dell'estremo inferiore (perché \(\gamma_{1} \gamma_{2} > \alpha \beta \) ed esistono \(x \in A\), \(y \in B | xy< \gamma_{1} \gamma_{2}\) )

[otta96]

Mancherebbe un passaggio, nell'ultima parte devi prendere un $\gamma_3>\alpha\beta$ e POI trovare dei $\gamma_1$ e $\gamma_2$ tali che $\gamma_1\gamma_2<\gamma_3$, non puoi prenderli cosìa priori. Il resto va bene.