[Operatori lineari]L'ortogonale di un autospazio
Leggo su degli appunti che sto studiando una conclusione che non riesco a capire. Il professore ha un operatore lineare $(L, D(L))$ su uno spazio di Hilbert $H$ e deve indagare l'esistenza di soluzioni per l'equazione
$Lu-u=f$.
Lui sa che $L$ è autoaggiunto e che ha l'inverso $L^{-1}:H\to H$ compatto. Allora conclude che il problema ha soluzione se e solo se $f$ è ortogonale all'autospazio $N(L-1)$.
Come ha fatto?
$Lu-u=f$.
Lui sa che $L$ è autoaggiunto e che ha l'inverso $L^{-1}:H\to H$ compatto. Allora conclude che il problema ha soluzione se e solo se $f$ è ortogonale all'autospazio $N(L-1)$.
Come ha fatto?
Risposte
Formalmente puoi scrivere la soluzione come
[tex]u = (L-1)^{-1} f[/tex]
quindi se [tex]f[/tex] sta nel nucleo di [tex]L-1[/tex] l'inverso non è definito. Pensalo in termini di matrici. Se hai una matrice [tex]A[/tex] e un vettore [tex]v[/tex], non nullo, tali che [tex]Av=0[/tex] questo implica che la matrice ha determinante nullo e quindi non è invertibile.
[tex]u = (L-1)^{-1} f[/tex]
quindi se [tex]f[/tex] sta nel nucleo di [tex]L-1[/tex] l'inverso non è definito. Pensalo in termini di matrici. Se hai una matrice [tex]A[/tex] e un vettore [tex]v[/tex], non nullo, tali che [tex]Av=0[/tex] questo implica che la matrice ha determinante nullo e quindi non è invertibile.
E si lo so ma non è sufficientemente preciso, alle.fabbri. Infatti, in generale (usando l'autoaggiunzione di $L$) si ha questa relazione:
$bar{R(L-1)}=N(L-1)^bot$
e non questa, che invece usa il professore:
$R(L-1)=N(L-1)^bot$.
Ci deve essere qualche motivo (probabilmente immediato) per cui il rango di $L-1$ è chiuso.
$bar{R(L-1)}=N(L-1)^bot$
e non questa, che invece usa il professore:
$R(L-1)=N(L-1)^bot$.
Ci deve essere qualche motivo (probabilmente immediato) per cui il rango di $L-1$ è chiuso.
Ma [tex]D(L)[/tex] è denso?
Si, certo.
Ho intuito che la cosa è conseguenza del teorema dell'alternativa di Fredholm in qualche maniera. Questo perché leggo qualcosa di vagamente analogo sul libro di Prodi e Ambrosetti A primer in nonlinear analysis. Ma non so argomentare precisamente: se a qualcuno viene qualche idea, è bene accetta.
Sicuramente c'è un modo più semplice, però mi pare che così possa funzionare (almeno spero, mi è venuto in mente questo 
)
Da Basic classes of linear operators di Gohberg, Goldberg e Kaashoek (teorema 6.1 a pag. 214) si ha
Teorema: Sia [tex]A[/tex] un operatore autoggiunto in uno spazio di Hilbert [tex]\mathcal H[/tex] infinito dimensionale tale che [tex]\exists A^{-1}[/tex] compatto. Allora:
a) esiste un s.o.n.c. [tex]\{\phi_n\}[/tex] in [tex]\mathcal H[/tex] di autovettori di [tex]A[/tex], con corrispettivi autovalori [tex]\lambda_n[/tex] reali e tali che [tex]|\lambda_n| \to \infty[/tex] per [tex]n \to \infty[/tex].
b) si ha [tex]D(A) = \{ f \in \mathcal H : \sum_n \lambda_n^2 |(f|\phi_n)|^2 < \infty \}[/tex].
c) [tex]Af = \sum_n \lambda_n (f|\phi_n)\phi_n[/tex] per ogni [tex]f \in \mathcal D(A)[/tex].
Vogliamo dunque vedere se esiste [tex]u \in D(A)[/tex] tale che, per [tex]f \in \mathcal H[/tex], si abbia [tex](A-I)u = f[/tex].
Se tale [tex]u[/tex] esiste, allora [tex]f \in R(A-I) \subset \overline{R(A-I)} = N(A-I)^\perp[/tex].
Viceversa, supponiamo che [tex]f \in N(A-I)^\perp[/tex]. Se prendiamo un s.o.n.c [tex]\{\phi_n\}[/tex] come nel teorema di sopra, abbiamo [tex](f|\phi_n) = 0[/tex] qualora [tex]A\phi_n = \phi_n[/tex].
Definiamo [tex]u := \sum_{\lambda_n \ne 1} \frac{(f|\phi_n)}{\lambda_n-1} \phi_n[/tex]. Abbiamo allora [tex]u \in D(A)[/tex] e [tex](u|\phi_n) = 0[/tex] qualora [tex]\lambda_n = 1[/tex] (altrimenti [tex](u|\phi_n) = \frac{(f|\phi_n)}{\lambda_n-1}[/tex]). Dunque
[tex](A-I)u = \sum_n (\lambda_n-1) (u|\phi_n)\phi_n = \sum_n (f|\phi_n)\phi_n = f[/tex].
Spero di non aver scritto boiate
)Da Basic classes of linear operators di Gohberg, Goldberg e Kaashoek (teorema 6.1 a pag. 214) si ha
Teorema: Sia [tex]A[/tex] un operatore autoggiunto in uno spazio di Hilbert [tex]\mathcal H[/tex] infinito dimensionale tale che [tex]\exists A^{-1}[/tex] compatto. Allora:
a) esiste un s.o.n.c. [tex]\{\phi_n\}[/tex] in [tex]\mathcal H[/tex] di autovettori di [tex]A[/tex], con corrispettivi autovalori [tex]\lambda_n[/tex] reali e tali che [tex]|\lambda_n| \to \infty[/tex] per [tex]n \to \infty[/tex].
b) si ha [tex]D(A) = \{ f \in \mathcal H : \sum_n \lambda_n^2 |(f|\phi_n)|^2 < \infty \}[/tex].
c) [tex]Af = \sum_n \lambda_n (f|\phi_n)\phi_n[/tex] per ogni [tex]f \in \mathcal D(A)[/tex].
Vogliamo dunque vedere se esiste [tex]u \in D(A)[/tex] tale che, per [tex]f \in \mathcal H[/tex], si abbia [tex](A-I)u = f[/tex].
Se tale [tex]u[/tex] esiste, allora [tex]f \in R(A-I) \subset \overline{R(A-I)} = N(A-I)^\perp[/tex].
Viceversa, supponiamo che [tex]f \in N(A-I)^\perp[/tex]. Se prendiamo un s.o.n.c [tex]\{\phi_n\}[/tex] come nel teorema di sopra, abbiamo [tex](f|\phi_n) = 0[/tex] qualora [tex]A\phi_n = \phi_n[/tex].
Definiamo [tex]u := \sum_{\lambda_n \ne 1} \frac{(f|\phi_n)}{\lambda_n-1} \phi_n[/tex]. Abbiamo allora [tex]u \in D(A)[/tex] e [tex](u|\phi_n) = 0[/tex] qualora [tex]\lambda_n = 1[/tex] (altrimenti [tex](u|\phi_n) = \frac{(f|\phi_n)}{\lambda_n-1}[/tex]). Dunque
[tex](A-I)u = \sum_n (\lambda_n-1) (u|\phi_n)\phi_n = \sum_n (f|\phi_n)\phi_n = f[/tex].
Spero di non aver scritto boiate
Boiate mi pare proprio di no. Usi la separabilità di $H$, cosa che tra l'altro richiede anche il professore (e io mi ero scordato di farlo presente ), e diagonalizzi l'inverso di $A$, dopodiché è roba di conti. Si, si. Grazie, rbtqwt!!! Mica è la prima volta che mi togli le castagne dal fuoco.
), e diagonalizzi l'inverso di $A$, dopodiché è roba di conti. Si, si. Grazie, rbtqwt!!! Mica è la prima volta che mi togli le castagne dal fuoco.
Di nulla! Se trovi una soluzione più breve fammi sapere!
Salve - ogni tanto ripasso di qua e trovo qualche problema interessante.
Mi pare che una dimostrazione diretta si possa fare come segue.
Vogliamo dimostrare che $R(L-I)=ker(L-I)^\bot$. Come ha detto giustamente dissonance sappiamo (dall'autoaggiunzione e dalla densità) che $\bar{R(L-I)}=ker(L-I)^\bot$.
Prendiamo un qualunque vettore $y$ ortogonale a $ker(L-I)$: per quanto sopra esiste una successione $(x_n)_n$ in $D(L)$ tale che $y_n:=Lx_n-x_n\to y$.
Dico che $(x_n)_n$ è limitata. Se non lo fosse, a meno di estrarre una sottosuccessione, posso supporre che $||x_n||\to+\infty$. Definiamo allora
$\hat x_n:=x_n/||x_n||$. La successione $(\hat x_n)_n$ è ancora ortogonale al nucleo e $L\hat x_n-\hat x_n=y_n/||x_n|| \to0$. Applicando $L^{-1}$ otteniamo $\hat x_n-L^{-1}\hat x_n\to0$. Dato che $(\hat x_n)_n$ è limitata ($||\hat x_n||=1$) e $L^{-1}$ è compatto si ha che $L^{-1}\hat x_n$ converge (a meno di sottosuccessioni) e quindi per differenza $\hat x_n\to \hat x$ per un opportuno $\hat x$. Questo $\hat x$ deve essere ancora
ortogonale al nucleo, deve avere norma uno e deve verificare $L^{-1}\hat x=\hat x$; dall'ultima segue $\hat x\in D(L)$ e $\hat x=L\hat x$ e cioè $\hat x\in ker(L-I)$ ASSURDO.
Quindi $(x_n)_n$ è limitata. A questo punto, applicando $L^{-1}$, otteniamo $x_n-L^{-1}x_n=L^{-1}y_n\to L^{-1}y$. Per la limitatezza di
$(x_n)_n$ e la compattezza di $L^{-1}$ possiamo supporre che $L^{-1}x_n$ converga a qualcosa - per differenza $x_n\to x$ per un opportuno
$x$ e vale $x-L^{-1}x=L^{-1}y$. Questo implica $x\in R(L^{-1})=D(L)$ e $L x-x=y$ - in particolare $y\in R(L-I)$.
Questo mostra che $ker(L-I)^\bot\subset R(L-I)$ - il viceversa è ovvio.
Mi pare che una dimostrazione diretta si possa fare come segue.
Vogliamo dimostrare che $R(L-I)=ker(L-I)^\bot$. Come ha detto giustamente dissonance sappiamo (dall'autoaggiunzione e dalla densità) che $\bar{R(L-I)}=ker(L-I)^\bot$.
Prendiamo un qualunque vettore $y$ ortogonale a $ker(L-I)$: per quanto sopra esiste una successione $(x_n)_n$ in $D(L)$ tale che $y_n:=Lx_n-x_n\to y$.
Dico che $(x_n)_n$ è limitata. Se non lo fosse, a meno di estrarre una sottosuccessione, posso supporre che $||x_n||\to+\infty$. Definiamo allora
$\hat x_n:=x_n/||x_n||$. La successione $(\hat x_n)_n$ è ancora ortogonale al nucleo e $L\hat x_n-\hat x_n=y_n/||x_n|| \to0$. Applicando $L^{-1}$ otteniamo $\hat x_n-L^{-1}\hat x_n\to0$. Dato che $(\hat x_n)_n$ è limitata ($||\hat x_n||=1$) e $L^{-1}$ è compatto si ha che $L^{-1}\hat x_n$ converge (a meno di sottosuccessioni) e quindi per differenza $\hat x_n\to \hat x$ per un opportuno $\hat x$. Questo $\hat x$ deve essere ancora
ortogonale al nucleo, deve avere norma uno e deve verificare $L^{-1}\hat x=\hat x$; dall'ultima segue $\hat x\in D(L)$ e $\hat x=L\hat x$ e cioè $\hat x\in ker(L-I)$ ASSURDO.
Quindi $(x_n)_n$ è limitata. A questo punto, applicando $L^{-1}$, otteniamo $x_n-L^{-1}x_n=L^{-1}y_n\to L^{-1}y$. Per la limitatezza di
$(x_n)_n$ e la compattezza di $L^{-1}$ possiamo supporre che $L^{-1}x_n$ converga a qualcosa - per differenza $x_n\to x$ per un opportuno
$x$ e vale $x-L^{-1}x=L^{-1}y$. Questo implica $x\in R(L^{-1})=D(L)$ e $L x-x=y$ - in particolare $y\in R(L-I)$.
Questo mostra che $ker(L-I)^\bot\subset R(L-I)$ - il viceversa è ovvio.
Che bello, un intervento di VG!!! Adesso purtroppo non mi posso soffermare perché ho un esame a brevissimo termine, ma appena possibile voglio scrivere un paio di commenti e una applicazione di questo risultato. Intanto grazie mille: adesso ho le idee molto più chiare su questo argomento.
Credo che il modo più standard di impostare il problema sarebbe di applicare $L^{-1}$ all'equazione, passando a
$u-L^{-1}u=L^{-1}f$
e usare i risultati sugli operatori del tipo identità + compatto (vedi per esempio il Brezis, VI.2 La teoria di Riesz-Fredholm, da pag. 147)
$u-L^{-1}u=L^{-1}f$
e usare i risultati sugli operatori del tipo identità + compatto (vedi per esempio il Brezis, VI.2 La teoria di Riesz-Fredholm, da pag. 147)
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