Operatori lineari: questi sconosciuti
Salve a tutti, spero di non infrangere nessuna regola del forum nel chiedere una spiegazione delle seguenti 3 slides che mi sono completamente oscure...non mi sono chiare le dimostrazioni...quindi non mi è chiaro il risultato a cui giunge: "limitatezza<=>continuità"...confido nel vostro aiuto 
Risposte
Quali sono esattamente i passaggi che non capisci? Proviamo ad andarci su dietro insieme!
Paola
Paola
Grazie paola.. Allora cercheró di dettagliare la domanda:
1) continuità=> continuità in zero è ovvia perchè la continuità posta per ipotesi è relativa a tutto lo spazio V , giusto?
2) poi ( se ho ben capito) dice di voler dimostrare l'implicazione inversa ossia: continuità in zero=> continuità
Ma non capisco perchè usa la successione :/ ... E neanche il significato di ciò che fa
3)per cercare di capire considero T(x) funzione lineare e x vettore di R^2 e quindi immagino un grafico in R^3 (quindi T(x):R^2->R) a questo punto seguendo quanto scritto nelle slide vedo che continuità nell'origine significa che la norma di T(x) e quindi il grafico che io immagino si schiaccia a zero quando la norma del vettore x è nulla e quindi quando siamo nell'origine... Cosa che per me non ha senso rispetto ad una qualsiasi definizione di continuità ragionevole
4) perchè questa strana continuità dovrebbe darmi la limitatezza della funzione T(x) in V????
Per il momento mi fermo qua... Ma ovviamente anche la seconda parte per me è altrettanto ombrosa...
Come puoi vedere non ci sto capendo proprio nulla .. Passaggio per passaggio nulla è chiaro
1) continuità=> continuità in zero è ovvia perchè la continuità posta per ipotesi è relativa a tutto lo spazio V , giusto?
2) poi ( se ho ben capito) dice di voler dimostrare l'implicazione inversa ossia: continuità in zero=> continuità
Ma non capisco perchè usa la successione :/ ... E neanche il significato di ciò che fa
3)per cercare di capire considero T(x) funzione lineare e x vettore di R^2 e quindi immagino un grafico in R^3 (quindi T(x):R^2->R) a questo punto seguendo quanto scritto nelle slide vedo che continuità nell'origine significa che la norma di T(x) e quindi il grafico che io immagino si schiaccia a zero quando la norma del vettore x è nulla e quindi quando siamo nell'origine... Cosa che per me non ha senso rispetto ad una qualsiasi definizione di continuità ragionevole
4) perchè questa strana continuità dovrebbe darmi la limitatezza della funzione T(x) in V????
Per il momento mi fermo qua... Ma ovviamente anche la seconda parte per me è altrettanto ombrosa...
Come puoi vedere non ci sto capendo proprio nulla
.. Passaggio per passaggio nulla è chiaro
1. Sì.
2. Usa la seguente caratterizzazione ben nota di continuità: una funzione lineare $f:X \to Y$ è continua in $x\in X$ se e solo se per ogni successione $\{x_n\}_n$ in $X$ che converge ad $x$ ($x_n\to x$) si ha $f(x_n)\to f(x)$. Nella tua dimostrazione usa anche il fatto che se $T$ è lineare, nel passaggio $T(x_n-x)=T(x_n) -T(x)$ e necessariamente $T(0)=0$.
3. Una funzione continua non può valere $0$ nell'origine?! Basta che pensi alla funzione (lineare) $T(x,y)=x-y$ ( il grafico è un piano nello spazio) e guardi cosa accade nell'origine.
4. Non ti dà propriamente una limitatezza, ma una relazione del tipo $|T(x)|\leq M |x|$, cioè una relazione di uniformità. Infatti la $M$ è la stessa per ogni $x$ che scegli! Quando $|x|\to\infty$ anche la norma di $T(x)$ può crescere (vedi esempio punto precedente), quindi non è limitata.
Più chiare queste cose?
Paola
2. Usa la seguente caratterizzazione ben nota di continuità: una funzione lineare $f:X \to Y$ è continua in $x\in X$ se e solo se per ogni successione $\{x_n\}_n$ in $X$ che converge ad $x$ ($x_n\to x$) si ha $f(x_n)\to f(x)$. Nella tua dimostrazione usa anche il fatto che se $T$ è lineare, nel passaggio $T(x_n-x)=T(x_n) -T(x)$ e necessariamente $T(0)=0$.
3. Una funzione continua non può valere $0$ nell'origine?! Basta che pensi alla funzione (lineare) $T(x,y)=x-y$ ( il grafico è un piano nello spazio) e guardi cosa accade nell'origine
.4. Non ti dà propriamente una limitatezza, ma una relazione del tipo $|T(x)|\leq M |x|$, cioè una relazione di uniformità. Infatti la $M$ è la stessa per ogni $x$ che scegli! Quando $|x|\to\infty$ anche la norma di $T(x)$ può crescere (vedi esempio punto precedente), quindi non è limitata.
Più chiare queste cose?
Paola
Ancora non mi è chiaro ... Probabilmente il problema è che non ricordo diversi elementi cardine studiati(male) in passato...
1)perchè T(0)=0??
2) x lo devo vedere come vettore di V giusto?
3)riguardo la 3 di prima , la domanda era: che senso ha che la continuità per una funzione nell'origine impone che essa sia ivi nulla ?
Grazie mille per l'attenzione anche se magari non capisco al meglio mi stai aiutando ad avvicinarmi alla verità
1)perchè T(0)=0??
2) x lo devo vedere come vettore di V giusto?
3)riguardo la 3 di prima , la domanda era: che senso ha che la continuità per una funzione nell'origine impone che essa sia ivi nulla ?
Grazie mille per l'attenzione anche se magari non capisco al meglio mi stai aiutando ad avvicinarmi alla verità
a e aggiungo...se dovessi avere del materiale a riguardo sarei ben lieto di dargli un'occhiata perchè io ho solo queste 3 slides a riguardo
1. $T(0)=T(x-x)=T(x) - T(x)=0$
2. Sì.
3. E' una particolare proprietà delle funzioni lineari e non di tutte le funzioni continue in zero.
Un buon libro è secondo me il Simon Reed, Functional Analysis.
Paola
2. Sì.
3. E' una particolare proprietà delle funzioni lineari e non di tutte le funzioni continue in zero.
Un buon libro è secondo me il Simon Reed, Functional Analysis.
Paola
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